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高等数学
第七章 多元函数积分学
质量与质心
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2024-10-07 09:27
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质量与质心
## 质量与质心 由力学知道, $n$ 个质点系的质心坐标为 $$ \bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, $$ 其中 $m_i$ 为第 $i$ 个质点的质量, $M_x=\sum_{i=1}^n m_i y_i , M_y=\sum_{i=1}^n m_i x_i$ 分别是质点系对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩, $m=\sum_{i=1}^n m_i$ 是质点系的总质量. 设有一平面薄片,它位于 $x O y$ 面内区域 $D$ 上,在点 $(x, y)$ 处的面密度为区域 $D$ 上的连续函数 $\rho(x, y)$. 现求它的质量和质心坐标. 在区域 $D$ 上任取一个小区域 $\mathrm{d} \sigma$ ( $\mathrm{d} \sigma$ 也表示小区域的面积),在 $\mathrm{d} \sigma$ 上任取一 点 $(x, y)$. 由于 $\mathrm{d} \sigma$ 很小, $\rho(x, y)$ 又在 $D$ 上连续, 所以相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 的部分薄片的质量近似等于 $\rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ,平面薄片的质量为 $$ m=\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma . $$ 同理, 相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 的部分薄片对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩近似等于 $y \mathrm{~d} m=y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 和 $x \mathrm{~d} m=x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma ,$ 即 $\mathrm{d} M_x=x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \mathrm{d} M_y=y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ , 于是平面薄片对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩分别为 $$ \begin{array}{c:c} M_x=\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, & M_y=\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \end{array} $$ 所以平面薄片的质心坐标为 $$ \bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma} . $$ 如果平面薄片是均匀的,即 $\rho(x, y)$ 是常数,则均匀平面薄片的质心坐标为 $$ \bar{x}=\frac{1}{A} \iint_D x \mathrm{~d} \sigma, \quad \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_D y \mathrm{~d} \sigma , $$ 其中 $A=\iint_D \mathrm{~d} \sigma$ 为闭区域 $D$ 的面积. 这时平面薄片的质心坐标与密度无关,而 由闭区域 $D$ 的形状所决定,称为平面图形 $D$ 的形心. `例`一圆环薄片由半径为 4 和 8 的两个同心圆所围成,其上任一点处的 面密度与该点到圆心的距离成反比,已知在内圆周上各点处的面密度为 1 ,求圆 环薄片的质量. 解 如图 7-31,积分区域 $D$ 是 $4^2 \leq x^2+y^2 \leq 8^2$ , 圆环薄片的质量 $m$ 为 $$ m=\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_202301019a02aea.png) $$ m=\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma $$ 因为 $\rho(x, y)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , 且 $\frac{k}{4}=1$ ,所以 $k=4, \rho=\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , 故所求质量 $\quad m=\iint_D \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} \sigma=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_4^8 \frac{4}{r} r \mathrm{~d} r=32 \pi$. `例` 求位于两圆 $\rho=2 \sin \theta$ 和 $\rho=4 \sin \theta$ 之间的均匀薄片的质心. 解 如图 7-32, 因为闭区域 $D$ 对称于 $y$ 轴,故质心 $C(\bar{x}, \bar{y})$ 必位于 $y$ 轴上, 于是 $$ \bar{x}=0, \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_D y \mathrm{~d} \sigma . $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_20230101e655b49.png) $$ \bar{x}=0, \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_D y \mathrm{~d} \sigma . $$ 易见积分区域 $D$ 的面积等于这两个圆的面积之差, 即 $A=3 \pi$. 再利用极坐标计算积分: $$ \iint_D y \mathrm{~d} \sigma=\iint_D r^2 \sin \theta \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta=\int_0^\pi \sin \theta \mathrm{d} \theta \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} r^2 \mathrm{~d} r=\frac{56}{3} \int_0^\pi \sin ^4 \theta \mathrm{d} \theta=7 \pi . $$ 因此 $\bar{y}=\frac{7 \pi}{3 \pi}=\frac{7}{3}$,
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曲面的面积
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