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空间立体的体积

## 空间立体的体积
   我们可以用三重积分来计算空间立体体积.   空间立体 $\Omega$ 的体积为 $V=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v$

`例` 求由平面 $x=0 ， y=0 ， z=0 ， 3 x+2 y=6$ 及曲面 $z=3-\frac{1}{2} x^2$ 所围立体的 体积.
解 空间立体在 $x O y$ 面上的投影区域 $D$ 由 $x=0 ， y=0 ， 3 x+2 y=6$ 所围 (见 图 7-39).

$$
\begin{aligned}
V=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v & =\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_0^{\frac{1}{2}(6-3 x)} \mathrm{d} y \int_0^{3-\frac{1}{2} x^2} \mathrm{~d} z \\
& =\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_0^{\frac{1}{2}(6-3 x)}\left(3-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} y \\
& =\int_0^2 \frac{1}{2}(6-3 x) \cdot\left(3-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} x=8
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301014ac4701.png)
注 本题也可用二重积分求体积:

$$
V=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_0^{\frac{1}{2}(6-3 x)}\left(3-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} y
$$

也可用定积分求体积 (已知截面面积的立体体积)：

$$
A(x)=\left(3-\frac{1}{2} x^2\right) \frac{1}{2}(6-3 x), \quad V=\int_0^2 A(x) \mathrm{d} x .
$$

`例` 设 $a>0$ ，计算旋转抛物面 $x^2+y^2=a z$ 、圆柱面 $x^2+y^2=2 \alpha x$ 与平面 $z=0$ 所围成的立体 $\Omega$ 的体积.
解 投影区域: $D: 0 \leq r \leq 2 a \cos \theta ，-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ (见图 7-40)，因此

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101f6eefcd.png)

投影区域: $D: 0 \leq r \leq 2 a \cos \theta ，-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ (见图 7-40)，因此 因此

$$
\begin{aligned}
V=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 a \cos \theta} r \mathrm{~d} r \int_0^{\frac{r^2}{a}} \mathrm{~d} z=\frac{1}{a} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} r^3 \mathrm{~d} r=4 a^3 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^4 \theta \mathrm{d} \theta \\
& =8 a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^4 \theta \mathrm{d} \theta=8 a^3 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{3}{2} \pi a^3 .
\end{aligned}

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