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利用柱面坐标计算三重积分

## 利用柱面坐标计算三重积分
### 引例
我们先看一个例子．
`例`计算三重积分 $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^2=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2$ 所围成的区域．

解 旋转面的方程为 $x^2+y^2=2 z$ ．
如图所示，将积分区域 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面，得投影区域为

![图片](/uploads/2025-09/c26983.jpg) 
$$
D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=4\right\} .
$$

作平行于 $z$ 轴的直线穿过 $\Omega$ 的内部，得 $\Omega$ 内部的点的 $z$ 坐标满足 $\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right) \leqslant z \leqslant 2$ ，故积分区域 $\Omega$ 为

$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right) \leqslant z \leqslant 2\right., \quad x^2+y^2 \leqslant 4\right\},
$$

则

$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} V & =\iiint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}^2\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z \\
& =\iint_{D_{x y}}\left(x^2+y^2\right)\left[2-\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

因为被积函数为 $f\left(x^2+y^2\right)$ 的形式，且二重积分的积分区域 $D_{x y}$ 为圆域，在极坐标系下积分区域 $D_{x y}$ 为 $D_{\rho \theta}=\{(\rho, \theta) \mid 0 \leqslant \rho \leqslant 2,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\}$ ．又曲面 $x^2+y^2= 2 z$ 可表示为 $z=\frac{1}{2} \rho^2$ ，故

$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} V & =\iint_{D_{\rho \theta}} \rho^2 \cdot \rho \mathrm{~d} \rho \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2} \rho^2}^2 \mathrm{~d} z=\int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_0^2 \rho^2\left(2-\frac{1}{2} \rho^2\right) \rho \mathrm{d} \rho \\
& =2 \pi\left[\frac{1}{2} \rho^4-\frac{1}{12} \rho^6\right]_0^2=\frac{16}{3} \pi
\end{aligned}
$$

这样就得到一种新的化三重积分为三次积分的计算方法，事实上就是在所谓柱面坐标系下化三重积分为三次积分．三维空间的柱面坐标系就是平面极坐标系再加上 $z$ 轴而构成的坐标系．

##  柱面坐标系

设空间有一点 $M(x, y, z)$ ，并设 $M$ 在 $x O y$面上的投影点 $P$ 的极坐标为 $\rho, \theta$ ，则这样三个数 $\rho, \theta, z$ 就叫作点 $M$ 的柱面坐标，如图 ．规定三个变量 $\rho, \theta, z$ 的取值范围为

$$
0 \leqslant \rho \leqslant+\infty, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \p

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【数学分析】球坐标、柱坐标与三重积分的变量替代

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