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利用直角坐标计算三重积分

## 利用直角坐标计算三重积分
   我们先考虑有如下几何特征的闭区域 $\Omega$ : 平行于 $z$ 轴且穿过 $\Omega$ 内部的直线 与 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 相交不多于两点，若多于两点，则需将 $\Omega$ 分成若干部分，使每 一部分都满足相交不多于两点的要求. 把这种闭区域 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面上去，得到 一个平面闭区域 $D_{x y}$. 以 $D_{x y}$ 的边界为准线作母线平行于 $z$ 轴的柱面. 这柱面与曲 面 $S$ 的交线就从 $S$ 中分出上下两部分曲面来，他们的方程分别为

$$
S_1: z=z_1(x, y), \quad S_2: z=z_2(x, y)
$$

假定 $z_1(x, y), z_2(x, y)$ 都是 $D_{x y}$ 上的连续函数，且不妨设 $z_1(x, y) \leq z_2(x, y)$.这时候，对于 $D_{x y}$ 内的任一点 $(x, y)$ ，过该点且平行于 $z$ 轴的直线必然通过曲面
$S_1$ 穿入的内部，然后又通过曲面 $S_2$ 而穿出的内部，穿入、穿出的点的坚坐标分别是 $z_1(x, y), z_2(x, y)$ (见图 7-33) .
这样积分区域可以表示为

$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z_1 \leq z(x, y) \leq z_2,(x, y) \in D_{x y}\right\}

![图片](/uploads/2023-01/image_202301017f4d607.png)

我们先把 $x, y$ 看作定值，将 $f(x, y, z)$ 看作只是 $z$ 的函数，在区间 $\left[z_1(x, y), z_2(x, y)\right]$ 上对做 $z$ 定积分，积分的结果事实上成为 $D_{x y}$ 上 $x, y$ 的函数，记 为 $F(x, y)$ ，即

$$
F(x, y)=\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z .
$$

然后计算 $F(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上的二重积分，其结果就是三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ ，即

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_{x y}} F(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{D_{y y}}\left[\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

此式右端这个先对 $z$ 的单积分，后对 $x$ 与 $y$ 的二重积分也常记作

$$
\iint_{D_{y y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

因此，上式也写作

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

如果闭区域 $D_{x y}$ 又可以表示为 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid y_1(x) \leq y \leq y_2(x), a \leq x \leq b\right\}$
那么再把对 $x$ 与 $y$ 的二重积分化为二次积分.最终得到三重积分化为先对 $z$ ，次对 $y$ ，最后对 $x$ 的三次积分的一个计算式

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

上述将三重积分化成三次积分是先做

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