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常数项级数的概念

## 无限项相加的两个小故事
### 故事一
战国时期，我国著名哲学家庄子在其著作《庄子•天下篇》曾引用过一句话＂一尺之棰，日取其半，万世不竭．＂也就是说将一根长为一尺的木棒每天截去一半，这个过程可以无限地进行下去．不难看出，这样不断地截取，截下来的总量应该为

$$
\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots,
$$

即得到了一个具有无穷多项的＂和式＂．直观地看，整个棒之长可表示成（分解成）无穷多段小棒的长度之和，即这个无穷多项的和应为 1 ：

$$
1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots .
$$

我们再看下面一个＂无穷多项相加＂的例子：

$$
1+(-1)+1+(-1)+\cdots
$$

如果将它写成

$$
(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots,
$$

其结果为 0 ，但若写成

$$
1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+\cdots=1+0+0+\cdots
$$

其结果则是 1 ．这样，我们就得到了两个完全不同的结果．于是就存在这样的问题：＂无穷多项相加＂是否存在？如果存在，其＂和＂等于多少？由此例看来，不能将＂有限多项相加＂的概念简单地应用到＂无穷多项相加＂，而需建立新的概念．

### 故事二 芝诺悖论
早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 芝诺(Zeno) 的学者，曾提出若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，＂阿基里斯（希腊神话中的英雄）追赶乌龟＂即是其中较为著名的一个．

设乌龟在 阿基里斯 前面 $S_1$（米）处向前爬行，阿基里斯在后面追赶，当 阿基里斯 用了 $t_1$ （秒）时间，跑完 $S_1$（米）时，乌龟已向前爬了 $S_2$（米）；当阿基里斯再用 $t_2$（秒）时间，跑完 $S_2$（米）时，乌龟又向前爬了 $S_3$（米）$\cdots \cdots$ 这样的过程可以一直继续下去，因此阿基里斯永远也追不上乌龟。

显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的．没有人会怀疑，阿基里斯 必将在 $T$ （秒）时间内，跑了 $S$（米）后追上乌龟（ $T$ 和 $S$ 是常数）．芝诺的诡辩之处就在于把有限的时间 $T$（或距离 $S$ ）分割成无穷段 $t_1, t_2, \cdots$（或 $S_1, S_2, \cdots$ ），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种假象：这样＂追一爬一追一爬＂的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将用掉的时间 $t_1, t_2, \cdots$（或跑过的距离 $S_1, S_2, \cdots$ ）加起来，即

$$
t_1+t_2+\cdots+t_n+\cdots \quad\left(\text { 或 } S_1+S_2+\cdots+S_n+\cdots\right) \text {, }
$$

尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 $T$（或 $S$ ）。换言之，经过时间 $T$（秒）， 阿基里斯跑完 $S$（米）后，他已经追上乌龟了。

这里，我们遇到了无限个数相加的问题．很自然地，我们要问，这种＂无限个数相加＂是否一定有意义？若不一定的话，那么怎么来判别？有限个数相加时的一些运算法则，如加法交换律、加法结合律对于无限个数相加是否继续有效？如此等等。这正是本章要讨论的数项级数的一些概念．

## 为什么要进行函数展开
对于函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，原因很简单：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们希望在“尽可能”简单的情况下，可以估算他的值吗？
当然可以，这就是函数的展开，比如我告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$

你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差非常小，基本上能满足“日常”使用。

再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

这样，我们就需要解决3个问题：

>**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**
**因此，本章本质上就是解决上面提出的（1）（2）（3）三个问题。**

上面举例里，第（1）问，$e^x$ 可以展开，这已经展示过了，那如何保证（2）问里展开值的精度呢？那就是靠多项式余项。常用余项有两个，一个是拉格朗日余项，一个是佩亚诺余项。
比如

#### 余项举例1
用  $\sin x$  的泰勒多项式近似$ \sin(0.5) $，要求误差 $ \leq 10^{-4}$
$$
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$
余项：
$$
R_5(x) = \frac{\sin^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 = \frac{-\sin \xi}{720}x^6 \quad (\xi \in [0, 0.5])
$$
由于 $ \sin \xi  \leq 1$ ，所以：
$$
R_5(0.5)
 \leq \frac{0.5^6}{720} \approx \frac{0.015625}{720} \approx 2.17 \times 10^{-5} < 10^{-4}
$$
因此，5 阶多项式足够。

#### 余项举例2
用 $ e^x$  近似 $ e^{1}$ ，要求误差  $\leq 10^{-6}$ ：

$$
R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \leq \frac{e}{(n+1)!} \quad (\xi \in [0,1])
$$
解不等式：
$$
\frac{e}{(n+1)!} \leq 10^{-6} \implies (n+1)! \geq e \times 10^6 \approx 2.718 \times 10^6
$$
计算阶乘：
$$
 10! = 3.628 \times 10^6 \geq 2.718 \times 10^6 
$$
所以 $ n+1 \geq 10$ ，即 至少需要 9 阶多项式。

> 这样，使用**余项可以保证多项式逼近的精度**

第（3）个问题主要靠**收敛半径**解决。最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取几个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^

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