最后更新: 2025-08-30 15:26 查看: 512 次反馈同步训练

常数项级数的概念

## 为什么要进行函数展开
对于函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，原因很简单：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们希望在“尽可能”简单的情况下，可以估算他的值吗？
当然可以，这就是函数的展开，比如我告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$

你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差非常小，基本上能满足“日常”使用。

再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

这样，我们就需要解决3个问题：

>**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**
**因此，本章本质上就是解决上面提出的（1）（2）（3）三个问题。**

上面举例里，第（1）问，$e^x$ 可以展开，这已经展示过了，那如何保证（2）问里展开值的精度呢？那就是靠多项式余项。常用余项有两个，一个是拉格朗日余项，一个是佩亚诺余项。
比如

#### 余项举例1
用  $\sin x$  的泰勒多项式近似$ \sin(0.5) $，要求误差 $ \leq 10^{-4}$
$$
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$
余项：
$$
R_5(x) = \frac{\sin^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 = \frac{-\sin \xi}{720}x^6 \quad (\xi \in [0, 0.5])
$$
由于 $ \sin \xi  \leq 1$ ，所以：
$$
R_5(0.5)
 \leq \frac{0.5^6}{720} \approx \frac{0.015625}{720} \approx 2.17 \times 10^{-5} < 10^{-4}
$$
因此，5 阶多项式足够。

#### 余项举例2
用 $ e^x$  近似 $ e^{1}$ ，要求误差  $\leq 10^{-6}$ ：

$$
R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \leq \frac{e}{(n+1)!} \quad (\xi \in [0,1])
$$
解不等式：
$$
\frac{e}{(n+1)!} \leq 10^{-6} \implies (n+1)! \geq e \times 10^6 \approx 2.718 \times 10^6
$$
计算阶乘：
$$
 10! = 3.628 \times 10^6 \geq 2.718 \times 10^6 
$$
所以 $ n+1 \geq 10$ ，即 至少需要 9 阶多项式。

> 这样，使用**余项可以保证多项式逼近的精度**

第（3）个问题主要靠**收敛半径**解决。最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取几个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^3+....=\frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857
$$
非常完美，嗯，再代入$x=3$ 看看

$$
S= \frac{1}{1 - 3} = 1+3+3^2+3^3+....=\frac{1}{-2} \approx -\frac{1}{2}
$$

> 怎么， $1+3+3^2+...= -\frac{1}{2}$ 可以看到，**我们得到了荒谬的结论**

这就是因为当$x=3$时，$\frac{1}{1-x}$ 是发散的，而上面展开式只有在$\frac{1}{1-x}$ 的 $|x|<1$ 时才是收敛的，才有意义，因此，我们引入了“收敛域”或者叫做“收敛半径”。

##  常数项级数的概念
无穷级数是逼近理论中的重要内容之一,也是微积分学的重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一 种极为有用的数学工具.
本章将分别讨论常数项级数和函数项级数，前者是后者的基 础. 在函数项级数中，将分别讨论幂级数和傅里叶级数. 这两类技术 在科学技术中有着非常广泛的应用.
我们先来计算几个和式:

$$
\begin{gathered}
& 1+2=3 ; \quad 1+2+3=6 ; \quad 1+2+3+4=10 ; \cdots \cdots 1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} ; \\

& 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} ; 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=\frac{7}{4} ; \quad \cdots \cdots \quad 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=\frac{1 \cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{\frac{1}{2}} ;
\end{gathered}
$$

我们很容易得到 $n$ 项求和的结果，那么如果 “无限项" 相加会是 什么样的结果呢?

$$
1+2+3+4+\cdots+n+\cdots=? \quad 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots=?
$$

我们可以把 $n$ 项和取极限，作为无穷多项相加的和，则可以得到:

$$
\begin{aligned}
& 1+2+3+4+\cdots+n+\cdots=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2}=\infty ； \\
& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{\frac{1}{2}}=2 .
\end{aligned}
$$

第一个极限不存在，因此 "和" 不存在；第二个极限存在，因此 "和" 为 2. 这就是这一节我们要研究的无限项和的问题，即级数的收敛问题.

人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程. 在这种 认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题.
我们来看一个例子，计算半径为 $R$ 的 圆面积 $\mathrm{c}$ ，先计算内接正六边形面积 $a_1$ ， 再以这正六边形的每边为底，分别作一个 顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个 等腰三角形面积之和 $a_2$ ，则 $a_1+a_2$ 就是正 12边形的面积 (见图 8-1)，
![图片](/uploads/2023-01/image_202301010eb55a3.png){width=300px}
 
然后以这正12边形边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形算出这 12 个等腰三角形面积之和 $a_3$ ， 则 $a_1+a_2+a_3$ 就是正 24 边形的面积， .....， 这 样依此类推， $a_1 、 a_1+a_2 、 a_1+a_2+a_3 、 \ldots \ldots, a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$ 就越来越接近圆 的面积. 即 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n(n \rightarrow \infty)$ 的极限就是所求圆面积 $A$. 这时，和式 中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子.

## 定义1 常数项无穷级数
设有数列 $\left\{u_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ ，将数列 $(n=1,2, \cdots)\left\{u_n\right\}$ 中的各项用加号连接的形式

$$
u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots
$$

称为**常数项无穷级数**，简称级数，记为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ，其中 $\sum$ 是求和记号， $n$称为下标变量，第 $u_n$ 项称为级数的一般项（**通项**）.

## 定义2 级数的部分和

对数列 $u_1, u_2, u_3, \cdots u_n, \cdots$ ，取它的前 $n$ 项的和

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n=\sum_{i=1}^n u_i,
$$

$S_n$ 称为级数的**部分和** (前 $n$ 项之和) .

令 $n=1,2,3, \ldots \ldots$ ，得到了由级数部分和所构成的序列（数列)：

$$
S_1=u_1, \quad S_2=u_1+u_2, \ldots . . S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n, \ldots \ldots,
$$

> 根据部分和序列有没有极限，来引进无穷级数收敛与发散的定义.

## 定义3 收敛与发散
若级数的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有极限 $S$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$ ，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ **收敛**，这时，极限 $S$ 就叫做无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的和，并写成 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=S$ ； 若数列 $\left\{S_n\right\}$ 没有极限，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ **发散**.

由此可见, 讨论无穷级数的收玫问题, 实际上就是讨论部分和数列的极限是否存在.

一方面，由级数的收玫定义可知，若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛且和为 $S$ ；反之，若给出一个数列 $\left\{S_n\right\}$ ，令

$$
u_1=S_1 、 u_2=S_2-S_1, \ldots \ldots u_n=S_n-S_{n-1}, \ldots \ldots,
$$

则该级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ ，于是，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$ ，
则有 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=S_1+\sum_{n=2}^{\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right)$ 收敛且和为 $S$.
当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛时，部分和 $S_n$ 是级数和 $S$ 的近似值，它们之间的差

$$
r_n=S-S_n=u_{n+1}+u_{n+2

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