最后更新: 2025-11-20 08:52 查看: 412 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

幂级数展开法、常数变易法与拉普拉斯变换法

> 本节介绍在 [无穷级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=449) 会介绍幂级数展开解法与拉普拉斯变换法，不作为考试要求，仅供了解。对于微分方程求解，使用展开法更方便计算机处理。

## 幂级数展开法
对于很多难于计算的微分方程，使用幂级数展开都可以求的近似值，

当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表示时，我们就要寻求其他解法，而利用函数的幂级数展开式来求解是常用的解法之一．

1．求一阶方程的初值问题

$$
y^{\prime}=P(x, y),\left.y\right|_{x=x_0}=y_0
$$

的解，其中 $P(x, y)$ 是 $\left(x-x_0\right),\left(y-y_0\right)$ 的多项式

$$
P(x, y)=a_{00}+a_{10}\left(x-x_0\right)+a_{01}\left(y-y_0\right)+\cdots+a_{l m}\left(x-x_0\right)^l\left(y-y_0\right)^m .
$$

设所求解 $y$ 可展开成 $\left(x-x_0\right)$ 的幂级数

$$
y=y_0+b_1\left(x-x_0\right)+b_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+b_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots
$$

这里 $b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots$ 是待定系数，把上式代人原方程中，就是一恒等式，比较等式两端 $\left(x-x_0\right)$ 的同次幂的系数，便可定出系数 $b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots$ ．这时在 （6．19）式的收敛区间内，其和函数就是初值问题的解．

`例` 求方程 $y^{\prime}-x y-x=1$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=0$ 的特解．
解 设方程的解

$$
y=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots+b_n x^n+\cdots
$$

由条件 $\left.y\right|_{x=0}=0$ ，得 $b_0=0$ ．故

$$
y=b_1 x+b_2 x^2+\cdots+b_n x^n+\cdots
$$

对上式求导，得

$$
y^{\prime}=b_1+2 b_2 x+3 b_3 x^2+\cdots+n b_n x^{n-1}+\cdots
$$

代人所给方程，得

$$
\sum_{n=1}^{\infty} n b_n x^{n-1}-x \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n-x=1
$$

即

$$
b_1+\left(2 b_2-1\right) x+\sum_{n=1}^{\infty}\left[-b_n+(n+2) b_{n+2}\right] x^{n+1}=1
$$

比较上式两端各项的系数，得 $b_1=1, b_2=\frac{1}{2}$ 及递推公式 $b_{n+2}=\frac{b_n}{n+2}(n \geqslant 1)$ ，从而，有

$$
b_3=\frac{b_1}{3}=\frac{1}{1 \cdot 3}, \quad b_4=\frac{b_2}{4}=\frac{1}{2 \cdot 4}, \quad b_5=\frac{b_3}{5}=\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}, \cdots,
$$

由此得所求解为

$$
\begin{aligned}
y & =\left[x+\frac{1}{1 \cdot 3} x^3+\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} x^5+\cdots+\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)} x^{2 n-1}+\cdots\right]+ \\
& {\left[\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2 \cdot 4} x^4+\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^6+\cdots+\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot(2 n)} x^{2 n}+\cdots\right] } \\
& =\left[x+\frac{1}{1 \cdot 3} x^3+\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} x^5+\cdots+\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)} x^{2 n

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