科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
数学分析
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
高中物理
词条搜索
科数
试题
高中数学
高数
线代
more
你好
游客，
登录
注册
在线学习
高等数学
第八章 无穷级数
幂级数收敛举例
最后
更新:
2023-10-01 11:28
查看:
312
次
高考专区
考研专区
公式专区
刷题专区
词条搜索
幂级数收敛举例
例 3 求下列幂级数的收敛域: (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n 2^n x^{2 n-1}$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}(x+1)^n$. 解 (1) 该级数为缺项级数，不能用定理 2，需直接用比值法 (或根比值法) 判别: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^n 2^{n+1} x^{2 n+1}}{(-1)^{n-1} 2^n x^{2 n-1}}\right|=2|x|^2$ ，当 $2|x|^2<1$ ，即 $|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，级数收敛； 当 $|x| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时， $\left|u_n(x)\right|=2^n|x|^{2 n-1} \geq 2^n\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2 n-1}=\sqrt{2}$ ， 即 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n(x)\right| \neq 0$ ， 也即 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n(x) \neq 0$ ， 因此该级数收敛域为 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. (2) 由 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n+(-2)^n}{n}}=3$ ，故 $R=\frac{1}{3}$, 当 $x+1=-\frac{1}{3}$ ，即 $x=-\frac{4}{3}$ 时，级数成为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}\left(-\frac{1}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right] $$ 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} ， \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛，故 $(*)$ 收敛； 当 $x+1=\frac{1}{3}$ ，即 $x=-\frac{2}{3}$ 时，级数成为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n}\left(\frac{1}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right] $$ 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛，故(**)发散，故该级数收敛域为 $\left[-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right)$.
上一篇：
幂级数的收敛域
下一篇：
幂级数的运算与和函数
在线学习仅为您提供最基础的数学知识，
开通会员
可以挑战海量
超难试题
， 分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
评论
更多
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数学分析
数论
群论
纠错
高考
考研
关于
赞助
留言
科数网是专业专业的数学网站。