最后更新: 2025-09-14 19:16 查看: 713 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

幂级数和函数的性质

## 幂级数的性质
**定理** 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 及 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收玫半径分别为 $R_1$ 与 $R_2$ ，记 $R=\min \left\{R_1, R_2\right\}$ ，则在 $(-R, R)$ 上，有
（1）级数 $\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\beta \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 收敛，且

$$
\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\beta \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha a_n+\beta b_n\right) x^n \quad(\alpha, \beta \in \mathbf{R}) ;
$$

（2）它们的乘积级数收敛，且

$$
\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n,
$$

其中 $c_n=a_0 b_n+a_1 b_{n-1}+\cdots+a_{n-1} b_1+a_n b_0$ ．
值得注意的是：两个收敛幂级数经过加减运算或乘法运算所得到的幂级数，可能其收敛半径 $R \geqslant \min \left\{R_1, R_2\right\}$ ．例如，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(1+2^n\right) x^n$与 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(1-2^n\right) x^n$ ，它们的收敛半径分别为

$$
R_1=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^n}{1+2^{n+1}}=\frac{1}{2}, R_2=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-2^n}{1-2^{n+1}}=\frac{1}{2}
$$

但将它们相加所得到的级数为

$$
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(1+2^n\right)+\left(1-2^n\right)\right] x^n=2 \sum_{n=0}^{\infty} x^n
$$

其收敛半径 $R=1, R>\min \left\{R_1, R_2\right\}$ ．

## 幂级数的运算与和函数
关于幂级数的运算和性质，我们不加证明地给出以下各定理.
**定理3 (代数运算)**
设幂级数

$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots, \quad b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots+b_n x^n+\cdots
$$

的收敛区间分别为 $\left(-R_1, R_1\right)$ 及 $\left(-R_2, R_2\right)$ ，其和函数分别为 $f(x)$ 与 $g(x)$ ，即

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=f(x), x \in\left(-R_1, R_1\right), \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=g(x), x \in\left(-R_2, R_2\right),
$$

设 $R=\min \left\{R_1, R_2\right\}$ ，则在 $(-R, R)$ 上，两个幂级数可以作加法、减法及乘法运算:

$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right) x^n=f(x) \pm g(x), x \in(-R, R), \\
&\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right)=a_0 b_0+\left(a_0 b_1+a_1 b_0\right) x+\left(a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0\right) x^2+ \\
& \cdots+\left(a_0 b_n+a_1 b_{n-1}+\cdots+a_n b_0\right) x^n+\cdots, x \in(-R, R) .
\end{aligned}
$$

可以看出，两个幂级数的加减乘运算与两个多项式的相应运算完全相同. 除 了代数运算外，幂级数在收敛域内还可以进行微分和积分运算.

## 定理 4 (和函数的连续性)

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛域为区间 $I$ ，则它的和函 数 $s(x)$ 在收敛域 $I$ 上是连续的.
例如，幂函数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛域为 $|x|<1$ ，且和函数 $s(x)=\frac{1}{1-x}$ ，即

$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots, x \in(-1,1)
$$

易知和函数 $s(x)=\frac{1}{1-x}$ 在收敛域 $(-1,1)$ 上是连续的.

## 定理 5 (和函数的可导性) 
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R(R>0)$ ，则其和 函数 $s(x)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内可导，且有逐项求导公式

$$
\left.s^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\right)^{\prim

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：幂级数的收敛域-Abel 收敛定理

下一篇：函数展开成幂级数★★★★★

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)