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函数展开成幂级数★★★★★

## 引言
前面主要讨论的问题是：幂级数的收敛域及其和函数的性质，以及在一定的条件下，求出和函数的表达式．下面讨论与之相反的问题，即
给定函数 $f(x)$ ，能否找到一个幂级数，它在某个区间内收敛且其和恰为给定的函数 $f(x)$ ，即

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n . ...(6.1)
$$

如果能找到这样的幂级数，我们称函数 $f(x)$ 在某个区间内能展开成幂级数（简称为函数 $f(x)$ 能展开成幂级数）．若函数 $f(x)$ 能展开成幂级数，这样就给出了函数 $f(x)$ 的一种新的表达方式．而幂级数可以看作是多项式的推广，那么在该区间内就能用关于 $x-x_0$ 的多项式来逼近函数 $f(x)$ 。因此，函数 $f(x)$ 展开成幂级数的问题对于理论研究与实际问题都具有重要的意义．关于函数 $f(x)$在某个区间内能否展开成幂级数，需要讨论的问题是：
**（1）函数 $f(x)$ 在什么条件下能展开成幂级数？
（2）可展开时，展开的形式是否唯一？
（3）系数 $a_n$ 应如何确定？**

## 6.1 函数展开成幂级数的条件(理论部分)

> 下面是理论部分，仅供了解，作为工科学生，基本上掌握本节的第二节内容即可。

如果 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内能展开成幂级数，即（6．1）式成立．由前面定理知，$f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内任意阶可导，且可对（6．1）式两边逐项求导。从而，$\forall x \in\left(x_0-R, x_0+R\right)$ ，都有

$$
\begin{array}{l}
f^{\prime}(x)=a_1+2 a_2\left(x-x_0\right)+\cdots+n a_n\left(x-x_0\right)^{n-1}+\cdots \\
f^{\prime \prime}(x)=2!a_2+3!a_3\left(x-x_0\right)+\cdots+n(n-1) a_n\left(x-x_0\right)^{n-2}+\cdots \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)!a_{n+1}\left(x-x_0\right)+\cdots
\end{array}
$$

在以上各式及（6．1）式中令 $x=x_0$ ，就得到

$$
a_0=f\left(x_0\right), a_1=f^{\prime}\left(x_0\right), a_2=\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}\left(x_0\right), \cdots, a_n=\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(x_0\right), \cdots,
$$

也就是说，如果 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内能展开成幂级数，则一定有

$$
\begin{aligned}
f(x)= & f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+   \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+\cdots, x \in\left(x_0-R, x_0+R\right) .
\end{aligned} ...(6.2)
$$

这就回答了前面提出的问题（2）与问题（3），即

> 定理 6.1 如果 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内能展开成幂级数（6．1），则幂级数展开的形式是唯一的，且幂级数的系数为
$$
a_n=\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(x_0\right), n=0,1,2, \cdots
$$

现在设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有任意阶导数，那么由 $f(x)$ 就能作出（6．2）右端的幂级数，我们称此幂级数为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数，记作

$$
f(x) \sim f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_0\right)}{1!}\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+\cdots, ...(6.3)
$$

然而，这个级数是否收敛？收敛时，是否又收敛于 $f(x)$ ？
由第3章中的泰勒公式，若函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内 $n+1$ 阶可导，则 $\forall x \in\left(x_0-R, x_0+R\right)$ ，有

$$
f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}\left(x-x_0\right)^k+R_n(x)=s_{n+1}(x)+R_n(x),
$$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}, \xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间．

不难看出，当 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内有任意阶导数，若 $f(x)$ 的泰勒级数的部分和 $s_{n+1}(x) \rightarrow f(x)(n \rightarrow \infty)$ ，则泰勒级数收敛于 $f(x)$ ，反之亦然．因此，$f(x)$ 的泰勒级数在 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0, x \in\left(x_0-R, x_0+R\right),
$$

即有：

> 定理 6.2 设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内存在任意阶导数，则 $f(x)$ 在 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0, x \in\left(x_0-R, x_0+R\right) $

其中 $R_n(x)$ 为 $f(x)$ 的**泰勒公式中的余项**。
由定理 6．2，可以得到 $f(x)$ 在 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内展开成泰勒级数的一个便于应用的充分条件：

**推论 6.1** 设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 内存在任意阶导数，如果存在常数 $M>0$ ，使得对于任意的 $x \in\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 及一切充分大的正整数 $n$ ，都有

$$
\left|f^{(n)}(x)\r

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