最后更新: 2024-09-16 20:54 查看: 420 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

等腰与等边三角形

## 等腰三角形

三条边中有两条边相等（或其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”，而另一条边被称为“底边”，两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”，它们组成的角被称为“顶角”

![图片](/uploads/2024-09/4cfc68.jpg)

### 定义
三角形的一个角的平分线与对边相交, 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线. 在图 3.8(1) 中, $\overline{A F}$ 平分 $\angle A$, 交对边于 $F$点, $\overline{A F}$ 就是 $\triangle A B C$ 的 $\angle A$ 的**平分线**.
连结三角形一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的**中线**. 在图 3.8(2) 中, $E$ 点是 $\overline{B C}$ 的中点, $\overline{A F}$ 就是 $\triangle A B C$ 的 $\overline{B C}$ 边上的中线.从三角形一个顶点到它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的**高线** (简称高). 在图 3.8(3) 中, $\overline{A D} \perp$ 直线 $B C, D$ 是垂足, $\overline{A D}$ 就是 $\triangle A B C$ 的 $\overline{B C}$ 边上的高线.

![图片](/uploads/2024-09/725b66.jpg)

> 三角形的高线、中线、角平分线，一般是指一条线段，但有时当我们不考虑其长度时，也把它们分别所在的直线叫做三角形的高线、中线、角的平分线

##  等腰三角形的性质
**性质1：** 等腰三角形底角相等．
**性质2：** 等腰三角形顶角的平分线垂直、平分底边
**性质3：** 一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个角相等．

证明1： 已知: 在 $\triangle A B C$ 中; $A B=A C$. 求证: $\angle B=\angle C$.
 ![图片](/uploads/2024-09/a83984.jpg)

证明: 作 $\angle B A C$ 的平分线 $\overline{A D}$ (图 3.9), 在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C D$ 中 $\because A B=A C$ (已知), $\overline{A D}=\overline{A D}$ (公共边), $\angle B A D=\angle C A D$ (角平分线定义)

$$
\therefore  \triangle A B D \simeq \triangle A C D(\mathrm{SAS})
$$

$\therefore \angle B=\angle C$ (全等三角形的对应角相等).
由于 $\overline{B D}=\overline{D C}, \angle B D A=\angle C D A=90^{\circ}$
因此 $A D$ 平分 $\overline{B C}$, 且 $A D \perp B C$.

**推论**
等腰三角形顶角的平分线垂直、平分底边.
也就是说, 等腰三角形的顶角平分线也是底边上的高线和中线. （三线合 )

## 等边三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=\angle C$ (图 3.10). 求证: $\overline{A B}=\overline{A C}$.证明: 根据翻转公理, 我们可以把 $\triangle A B C$ 翻转过来, 设顶点 $A 、 B 、 C$ 成为 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$.

![图片](/uploads/2024-09/db873e.jpg)
 
 $\because \quad \angle B=\angle C=\angle C^{\prime}, \quad \angle C=\angle B=\angle B^{\prime}$
又: $\because \overline{B C}=\overline{C^{\prime} B^{\prime}}$
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}(\mathrm{ASA})$
$\therefore \overline{A B}=\overline{A^{\prime} C^{\prime}}$ (全等三角形的对应边相等).
由于 $\overline{A C}=\overline{A^{\prime} C^{\prime}}, \therefore \overline{A B}=\overline{A C}$ （等量代换）
用逻辑语句说：等腰三角形的判定定理是其性质定理的逆定理. 这两个定理我们用 "充要" 条件可合写成一个定理：

>一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个角相等.

## 等边三角形

三边相等的三角形，又称正三角形，其三个内角相等均为60°。它是锐角三角形的一种。
![](http://kb.kmath.cn/uploads/2022-09/56beb5.svg)

**性质1** ：等边三角形的三内角相等．
**性质2** ：三内角相等的三角形是等边三角形．
 
 
 例 3.5 已知：在图 3.11 中， $\overline{A B}=\overline{E B}, \overline{A C}=\overline{D C}, \mathrm{ADB} 、 \mathrm{AEC}$ 是直线.
求证: $\angle A D C=\angle A E B$.
分析: 要证 $\angle A D C=\angle A E B$ ，只需证明 $\angle A D C=\angle A, \angle A E B=\angle A$ ；要证明 $\angle A D C=\angle A, \angle A E B=\angle A$, 只要知道 $\overline{A C}=\overline{D C}, \overline{A B}=\overline{B E}$ 就行了.
证明: 在 $\triangle B A E$ 中, $\because \overline{A B}=\overline{E B}$ (已知),
$\therefore \quad \angle A E B=\angle A$ (等腰三角形的底角相等).
在 $\triangle C A D$ 中, $\because \overline{A D}=\overline{D C}$ (已知),
$\therefore \quad \angle A D C=\angle A$ (等腰三角形的底角相等).
$\therefore \angle A D C=\angle A E B$ (等量代换).

![图片](/uploads/2024-09/5b488d.jpg)
 
 例 3.6 如图 3.12, 已知: $\overline{A C}=\overline{B C}, \overline{A E}=\overline{D B}$.
求证: $\overline{C D}=\overline{C E}$.
分析: 在 $\triangle C D E$ 中, 若要证 $\overline{C D}=\overline{C E}$, 只要证 $\angle 1=\angle 2$ 即可, $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 分别在 $\triangle B C D$ 与 $\triangle A C E$ 中, 如能证明 $\triangle B C D \cong \triangle A C E$, 即可证明 $\angle 1=\angle 2$.
解: 在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle B C D$ 中,

$$
\begin{array}{ll}
\because & \overline{A C}=\overline{B C}, \quad \overline{A E}=\overline{B D} \text { (已知 }) \\
\therefore & \angle A=\angle B(\text { 等腰三角形两底角相等 }), \\
\therefore & \triangle A C E \cong \triangle B C D(\mathrm{SAS}) \\
\therefore & \angle 2=\angle 1 \text { (全等三角形的对应角相等), } \\
\therefore & \triangle C D E \text { 是等腰三角形 }(\text { 有两角相等的三角形是等腰三角形). } \\
\therefore & \overline{C D}=\overline{C E}
\end{array}
$$

## 不等边三角形

指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。
![](http://kb.kmath.cn/uploads/2022-09/0fb99e.svg)

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