最后更新: 2025-04-14 09:33 查看: 108 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

三角形内角和定理与角平分线定理

## 内角和定理
三角形内角和定理
三角形三内角和等于 $180^{\circ}$.

这个定理在第一章用实验的办法验证过, 现在我们应用平行线的性质来证明它。

已知: 任一 $\triangle A B C$ (图 3.33). 求证: $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
 ![图片](/uploads/2024-09/d7ca75.jpg)
 证明: 过 $A$ 点引直线 $D E / / B C$ (平行公理) 则 $\angle D A B=\angle B, \angle E A C=\angle C$ (两条直线平行, 则内错角相等).
$\because D E$ 是过 $A$ 点的直线 (作图),
$\therefore \angle D A B+\angle B A C+\angle C A E=180^{\circ}$ (平角定义).
$\therefore \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$ (等量代换).
由三角形内角和定理可以得到下列推论。

**推论 1**
一个三角形的两角若分别等于另一个三角形的两角, 则第三个角也相等.

推论 2
两个三角形如果有两个角和其中一个角所对的边分别相等，那么它们就全等. (AAS)

推论 3
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论 4
正三角形的各内角是 $60^{\circ}$.

推论 5
三角形中, 至多有一个直角或一个钝角.

定义
每个内角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形, 夹直角的两边叫做直角边, 直角的对边叫做斜边;有一个内角是针角的三角形叫做钝角三形角 (图 3.34).
 ![图片](/uploads/2024-09/fdc86e.jpg)
 
 这样, 三角形可以根据它的内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形和针角三角形.

推论 6
直角三角形中，非直角的两个角都是锐角，并且这两个锐角互余.

定义
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.

这样三角形又可以按边长分成三类：等边三角形，底边和腰不等的等腰三角形和不等边三角形。

例3.17 已知： $O$ 是 $\triangle A B C$ 内任一点（图 3.35）。
求证: $\angle B O C=\angle A+\angle A B O+\angle A C O$.
证明: 引 $A O$ 交 $\overline{B C}$ 于 $D$ 点, 则 $\angle D O B=\angle A B O+\angle B A O, \angle D O C=$ $\angle A C O+\angle C A O$ (三角形外角等于不相邻内角和)
$\therefore \angle D O B+\angle D O C=\angle A B O+\angle A C O+\angle B A O+\angle C A O$ （等量加等量和相等)。

$$
\therefore \quad \angle B O C=\angle A+\angle A B O+\angle A C O
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/c8ffcb.jpg)
 
 例 3.18 在图 3.36 中. 已知： $\overline{C D} \perp \overline{A B}$ 于 $D, \overline{B E} \perp \overline{A C}$ 于 $E$, 且 $\overline{B E}=\overline{C D}$.
求证: $\angle A B C=\angle A C B$
证明: 在 $\triangle A B E$ 与 $\triangle A C D$ 中,
$\because \overline{B E} \perp \overline{A C}$ 于 $E . \overline{C D} \perp \overline{A B}$ 于 $D$ (已知)
$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \angle A E B=90^{\circ}$ (垂直定义).
$\therefore \angle A D C=\angle A E B$ (等量代换).
又 $\because \angle A=\angle A$ (公共角),$\overline{B E}=\overline{C D}$ (已知)
$\therefore \triangle A B E \cong \triangle A C D(\mathrm{AAS})$.
$\therefore \overline{A B}=\overline{A C}$ (全等三角形的对应边相等).
$\therefore \angle A B C=\angle A C B$. (等腰三角形的两底角相等).
 
 >角平分线上的点与角的两边距离相等.
 
 例 3.19 试证明定理：角平分线上的点与角的两边距离相等.
已知： $B D$ 是 $\angle A B C$ 的平分线, $P \in B D, \overline{P E} \perp B A$ 于 $E, \overline{P F} \perp B C$ 于 $F$
(图 3.37). 求证: $\overline{P E}=\overline{P F}$.

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证明: 在 $\triangle P E B$ 和 $\triangle P F B$ 中,
$\because B D$ 平分 $\angle A B C$ (已知),
$\therefore \angle E B P=\angle F B P$ (角平分线定义).
又 $\because \overline{P E} \perp B A$ 于 $E, \overline{P F} \perp B C$ 于 $F$ (已知),
$\therefore \angle P E B=90^{\circ}, \angle P F B=90^{\circ}$ (垂直定义),
$\therefore \angle P E B=\angle P F B$ (等量代换).
又 $\because \quad \overline{B P}=\overline{B P}$ (公共边),
$\therefore \quad \triangle P E B \cong \triangle P F B$ (AAS)
$\therefore \overline{P E}=\overline{P F}$ (全等三角形的对应边相等).
定义
连结多边形的不相邻两个顶点的线段叫做这个多边形的对角线. 如图 3.38 中的四边形 $A B C D$ 中就有两条对角线 $\overline{A C} 、 \overline{B D}$.

推论
从 $n$ 边形的一个顶点引对角线, 可把这个 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形,如图 3.39 中的五边形 $A B C D E$, 从 $A$ 点引对角线 $\overline{A C} 、 \overline{A D}$, 则分成了三个三角形。

由此推论不难得出多边形内角和定理:
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 多边形内角和定理
任意 $n$ 边形的内角和等于 $(n-2) \times 180^{\circ}$.
这个定理请同学们参看图 3.40 或图 3.41 自己证明.
 ![图片](/uploads/2024-09/380e94.jpg)
 
 定义
多边形内角的一边和另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

对于任一个 $n$ 边形每一内角取一个相应的外角, 如图 3.42 中的 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \ldots, \alpha_n^{\prime}$,很显然, 一个内角与它相应的一个外角和为一个平角, 因此:
$(n-2)$ 个平角外角和 + 外角和 $=$ 内角和 + 外角和

$$
\begin{aligned}
& =\left(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\right)+\left(\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime}+\cdots+\alpha_n^{\prime}\right) \\
& =n \text { 个平角 }
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 外角和 $=2$ 个平角 $=360^{\circ}$
因而有多边形外角和定理：

**多边形外角和定理**
任意多边形外角和都等于 $360^{\circ}$

定义
各边都相等, 各角都相等的多边形叫做正多边形.

![图片](/uploads/2024-09/8b1821.jpg)
 
 例 3.20 在图 3.43 中, 已知: $A B C D E$ 是正五边形, 对角线 $\overline{A D} 、 \overline{C E}$ 相交于 $F$.

求证: $\triangle A E F 、 \triangle D E F 、 \triangle C D F$ 都是等腰三角形.
证明：由多边形内角和公式可知：正五边形的各内角和

$$
(5-2) \times 180^{\circ}=540^{\circ}
$$

由于正五边形各内角相等，

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \angle A E D=540^{\circ} \times \frac{1}{5}=108^{\circ} \\
& \because \quad \triangle E A D \text { 是等腰三角形, } \\
& \therefore \quad \angle E A D=\angle E D A=\left(180^{\circ}-108^{\circ}\right) \times \frac{1}{2}=36^{\circ} \\
& \because \quad \triangle D C E \text { 也是等腰三角形, } \angle D=108^{\circ}, \\
& \therefore \quad \angle D E F=36^{\circ} . \\
& \therefore \quad \angle A E F=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ} \\
& \angle A F E=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}, \overline{A E}=\overline{A F} .
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle A E F$ 是等腰三角形.
同理可证 $\triangle C D F$ 也是等腰三角形, 腰长等于正五边形的边长; $\triangle D E F$ 也是等腰三角形。

例 3.21 已知: 正六边形 $A B C D E F$ (图 3.44).
求证: 对角线 $\overline{A D} 、 \overline{B E} \overline{C F}$ 相交于一点, 且把正六边形 $A B C D E F$ 分割成六个正三角形。
 ![图片](/uploads/2024-09/74728e.jpg)
 
 证明: 已知 $A B C D E F$ 是正六边形, 所以它的每一个内角

$$
(6-2) \times 180^{\circ} \times \frac{1}{6}=120^{\circ}
$$

以 $\overline{A B}$ 为边作正三角形 $A B O$, 顶点 $O$ 在正六边形 $A B C D E F$ 内, 连结 $\overline{O C} 、 \overline{O D} 、 \overline{O E} 、 \overline{O F}$.

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle B=120^{\circ}, \quad \angle A B O=60^{\circ}, \\
& \therefore \quad \angle O B C=60^{\circ} . \\
& \text { 又 } \because \quad \overline{O B}=\overline{B C}, \\
& \therefore \quad \angle B C O=\angle B O C=60^{\circ} .
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle O B C$ 也是正三角形.
同理可证: $\triangle O C D 、 \triangle O D E 、 \triangle O E F 、 \triangle O F A$ 都是正三角形. 由于 $\angle A O B+$ $\angle B O C+\angle C O D=180^{\circ}$, 所以 $A 、 O 、 D$ 在同一条直线上, 同理, $B 、 O 、 E$, $C 、 O 、 F$ 也都分别在同一条直线上, 所以对角线 $\overline{A D} 、 \overline{B E} 、 \overline{C F}$ 相交于一点 $O$, 且把正六边形分隔成六个全等的正三角形.

根据例 3.21 得出的正六边形的性质, 请同学们想想, 若已知正六边形的边长, 如何用圆规和直尺画一个正六边形.

定理
如果一个锐角的两边分别垂直于另一个锐角的两边，那么这两个锐角相
等．

根据这个定理很容易证明下面的例题.
例3.23 已知：在图3.46中, $\angle B A C=90^{\circ}, A D \perp B C$ 于 $D$ 点.
求证: $\angle B=\angle C A D, \angle C=\angle B A D$.
证明: $\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}$ (已知),
$\therefore \angle B 、 \angle C$ 都是锐角 (直角三角形中, 非直角的两个角都是锐角).
又 $\because A D$ 在 $\angle B A C$ 的内部，
$\therefore \angle C A D$ 也是锐角（全量大于它的任何一部分）.
由于, $A B \perp A C, A D \perp B C$,

$$
\therefore \quad \angle B=\angle C A D \text {. }
$$

同理: $\angle C=\angle B A D$. (两边分别互相垂直的两个锐角相等)
 ![图片](/uploads/2024-09/6f583c.jpg)
 
 例 3.24 已知: $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中, $\angle A C B=\angle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}=90^{\circ}, \overline{A B}=\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$, $\overline{A C}=\overline{A^{\prime} C^{\prime}}$ （图 3.47）。

求证: $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$
证明: 根据移形公理, 移动 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 因 $\overline{A C}=\overline{A^{\prime} C^{\prime}}$, 所以可使 $\overline{A^{\prime} C^{\prime}}$ 与 $\overline{A C}$重合, 并使 $B 、 B^{\prime}$ 落于 $\overline{A C}$ 的两侧.

由于 $\angle A C B=\angle A C B^{\prime}=90^{\circ}$.
$\therefore \quad \angle B C B^{\prime}=180^{\circ}$.
$\therefore \quad B 、 C 、 B^{\prime}$ 在一条直线上.
在 $\triangle A B B^{\prime}$ 中,
$\because \overline{A B}=\overline{A^{\prime} B}=\overline{A B^{\prime}}$,
$\therefore \angle B=\angle B^{\prime}$ (等腰三角形的两底角相等).
在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle A C B=\angle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \overline{A B}=\overline{A^{\prime} B^{\prime}} . \\
& \therefore \quad \triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{AAS})
\end{aligned}
$$

由上例可得如下定理：
定理
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.

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