最后更新: 2025-04-14 09:34 查看: 415 次反馈刷题

全等三角形

## 全等三角形

全等三角形指三条边及三个角都对应相等的两个三角形，是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形可以平移、旋转、把轴对称或重叠。

验证两个全等三角形，一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）和HL定理（斜边、直角边）来判定。三角相等或其中一角相等且非夹角的两边相等，不能验证为全等三角形。

## 判断条件

① SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

② SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形

③ ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等

④ AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等

⑤ RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等

### 全等三角形的判断条件
 
例 3.1 在图 3.3 中, 已知 $\overline{A B}=\overline{A C}, \angle B=\angle C$
求证： $\overline{B D}=\overline{C E}$ 。
分析: 要证 $\overline{B D}=\overline{C E}$, 从图上看 $\overline{B D}, \overline{C E}$ 分别是 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 的边,因此只要证明 $\triangle A C E \cong \triangle A B D$ 就行了，由已知条件 $\overline{A C}=\overline{A B}, \angle B=\angle C$而 $\angle A$ 是公共角, 所以 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A C E$ 全等是很显然的.
证明: 在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A C E$ 中,
$\because \overline{A B}=\overline{A C}, \angle B=\angle C$ (已知).
 
而 $\angle A=\angle A$ (公共角),
$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{ASA})$.
$\therefore \overline{B D}=\overline{C E}$ (全等三角形的对应边相等).
 ![图片](/uploads/2024-09/8d296e.jpg)
 
 例 3.2 已知: 在四边形 $A B C D$ 中, $\overline{A D}=\overline{B C}, \overline{A B}=\overline{C D}$ (图 3.4).
求证: $\angle A=\angle C$.
分析: 要证明 $\angle A=\angle C$, 需要把四边形 $A B C D$ 分成两个三角形, 为此, 连结 $B 、 D$. 这叫做添辅助线. 这样只需证 $\triangle A B D \cong \triangle C D B$ 就行了.
证明：连结 $B 、 D$ ，在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle C D B$ 中，

$$
\begin{aligned}
& \because \overline{A D}=\overline{B C}, \overline{A B}=\overline{C D} \quad \text { (已知) } \\
& \text { 又 } \because \overline{B D}=\overline{B D} \text { (公共边) } \\
& \therefore \quad \triangle A B D \cong \triangle C D B \text { (SSS) } \\
& \therefore \angle A=\angle C \text { (全等三角形的对应角相等). }
\end{aligned}
$$

例 3.3 在图 3.5 中, 已知: $\overline{A B}=\overline{C D}, \angle B=\angle C D F, \overline{B D}=\overline{E F}$.
求证: $\overline{A E}=\overline{C F}$.
分析: 要证 $\overline{A E}=\overline{C F}$, 只需证 $\triangle A B E \cong \triangle C D F$. 由已知, $\overline{A B}=\overline{C D}$, $\angle B=\angle C D F, \overline{B D}=\overline{E F}$, 虽然不能马上说 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C D F$ 全等, 但只要注意到 $\overline{B D}+\overline{D E}=\overline{D E}+\overline{E F}$, 即 $\overline{E B}=\overline{D F}$ 就行了.
证明：在图 3-5 中， $\because \overline{B D}=\overline{E F}$ 已知
$\therefore \overline{B D}+\overline{D E}=\overline{D E}+\overline{E F}$ (等量加等量和相等). 即:

$$
\overline{B E}=\overline{D F}
$$

又 $\because \overline{A B}=\overline{C D}, \angle B=\angle C D F$ 已知
$\therefore \quad \triangle A B E \cong \triangle C D F$ (SAS).
$\therefore \overline{A E}=\overline{C F}$ (全等三角形的对应边相等).

![图片](/uploads/2024-09/8daf74.jpg)
 
 例 3.4 在图 3.6 中, 已知: $\overline{A B}=\overline{B C}, \overline{A D}=\overline{C D}, E$ 点在 $B D$ 上.
求证: $\overline{A E}=\overline{C E}$.
分析：要证 $\overline{A E}=\overline{C E}$ ，只需证明 $\triangle A B E \cong \triangle C B E$ ，或者证明 $\triangle A D E \cong$ $\triangle C D E$ ，假定我们证明 $\triangle A B E \cong \triangle C B E$ ，已知 $\overline{A B}=\overline{B C}, \overline{B E}=\overline{B E}$ ，因此只需证明 $\angle A B D=\angle C B D$; 要证 $\angle A B D=\angle C B D$, 只需证明 $\triangle A B D \cong$ $\triangle C B D$.
证明: 在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle C B D$ 中,
$\because \overline{A B}=\overline{C B}, \overline{A D}=\overline{C D}$ (已知) $\overline{B D}=\overline{B D}$ (公共边)
$\therefore \triangle A B D \cong \triangle C B D(\mathrm{SSS})$.
$\therefore \angle A B D=\angle C B D$ (全等三角形的对应角相等)
$\because \overline{A B}=\overline{B C}$ (已知) $\overline{B E}=\overline{B E}$ (公共边)
$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C B E(\mathrm{SAS})$.
$\therefore \overline{A E}=\overline{C E}$ (全等三角形的对应边相等).
利用三角形全等, 来证明两条线段或两个角相等, 关键在于找出能够全等的三角形, 并且使要证明的线段和角恰好成为它们的对应边和对应角. 为了找出全等的三角形, 必要时需要添加辅助线.

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