最后更新: 2025-06-25 15:07 查看: 481 次反馈同步训练

全等三角形

## 全等三角形
如果两个图形能够重合，我们就称他们**全等形**，作为全等形的一个基础图像是全等三角形，他是几何中的重要概念。

$\triangle A B C$ 和 $\triangle M P N$ 能够完全重合，我们说这两个三角形全等 。＂全等＂用符号＂$\cong$＂来表示，读作＂全等于＂．$\triangle A B C$ 全等于 $\triangle M P N$ ，记作＂$\triangle A B C \cong$ $\triangle M P N$＂．

当两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做**对应顶点**，互相重合的边叫做**对应边**，互相重合的角叫做**对应角**。

由上，我们可以得出：**全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．**

角边角（ASA）、角角边（AAS）和HL定理（斜边、直角边）来判定。三角相等或其中一角相等且非夹角的两边相等，不能验证为全等三角形。

## 全等判断条件
① SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

② SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形

③ ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等

④ AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等

⑤ RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等

### 警告1
三个角对应相等的三角形不一定是全等三角形，即 角角角AAA不能当做全等三角形的判定，参考下图
 ![图片](/uploads/2025-06/75bd27.jpg)

> 因此：在判定全等三角形时，一定需要一个边。

### 警告2
边边角SSA不能作为全等三角形的判定。我们不准备详细介绍，下面仅通过构造一个三角形进行说明，如下图

$AB=A'B',AC=A'C', \angle B=\angle B'$ 很显然两个三角形不全等。 由于并没有对$∠BAC$角的约束，使得与$AC$长度相等的边可以出现在两个位置, 因此，全等三角形不能使用SSA判断

![图片](/uploads/2025-06/1fca3d.jpg){width=400px}

## 全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

### 全等三角形的举例
 
`例`在图 3.3 中, 已知 $\overline{A B}=\overline{A C}, \angle B=\angle C$
求证： $\overline{B D}=\overline{C E}$ 。
分析: 要证 $\overline{B D}=\overline{C E}$, 从图上看 $\overline{B D}, \overline{C E}$ 分别是 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 的边,因此只要证明 $\triangle A C E \cong \triangle A B D$ 就行了，由已知条件 $\overline{A C}=\overline{A B}, \angle B=\angle C$而 $\angle A$ 是公共角, 所以 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A C E$ 全等是很显然的.
证明: 在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A C E$ 中,
$\because \overline{A B}=\overline{A C}, \angle B=\angle C$ (已知).
 
而 $\angle A=\angle A$ (公共角),
$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{ASA})$.
$\therefore \overline{B D}=\overline{C E}$ (全等三角形的对应边相等).
 ![图片](/uploads/2024-09/8d296e.jpg)
 
 
 `例`已知: 在四边形 $A B C D$ 中, $\overline{A D}=\overline{B C}, \overline{A B}=\overline{C D}$ (图 3.4).
求证: $\angle A=\angle C$.
分析: 要证明 $\angle A=\angle C$, 需要把四边形 $A B C D$ 分成两个三角形, 为此, 连结 $B 、 D$. 这叫做添辅助线. 这样只需证 $\triangle A B D \cong \triangle C D B$ 就行了.
证明：连结 $B 、 D$ ，在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle C D B$ 中，

$$
\begin{aligned}
& \because \overline{A D}=\overline{B C}, \overline{A B}=\overline{C D} \quad \text { (已知) } \\
& \text { 又 } \because \overline{B D}=\overline{B D} \text { (公共边) } \\
& \therefore \quad \triangle A B D \cong \triangle C D B \text { (SSS) } \\
& \therefore \angle A=\angle C \text { (全等三角形的对应角相等). }
\end{aligned}
$$

`例`在图 3.5 中, 已知: $\overline{A B}=\overline{C D}, \angle B=\angle C D F, \overline{B D}=\overline{E F}$.
求证: $

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