最后更新: 2025-08-05 16:01 查看: 583 次反馈同步训练

非齐次线性方程组解的结构(基础解系)

## 非齐次线性方程组的解结构
非齐次方程组解的几何图形是齐次方程组解空间与一个特定常向量 $\boldsymbol{d}$ 的和,这实际上就是把齐次方程组解空间的几何图形沿着特定向量方向平移了一个距离, 这个距离等于常向量 $d$ 的长度。

下图显示了$x_2=a_x1$ 和 $x_2=a_x1+b$， 在二维平面上的几何意义。 从图中可以看到，只要我们得到齐次方程的解，再通过平移，即可得到非齐次方程。

![图片](/uploads/2025-07/cc5af6.jpg){width=600px}
 
 
这种思想同样可以应用于三元齐次线性方程组里。如下图，如果解空间是一个直线或者平面, 那么同一个系数矩阵的非齐次线性方程组的解系就是把这根直线或平面平移一个特解向量的距离

![图片](/uploads/2025-07/9b7002.jpg){width=600px}

### 结论
所以, 齐次方程组和对应的非齐次方程组的解析几何图形是平行的, 或者说齐次方程组的解的几何图形和对应的非齐次方程组的解的几何图形是平行的。具体来说, 齐次方程组的所谓基础解系 $c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \xi_{n-r}$ 的几何图形和非齐次方程组的通解 $\boldsymbol{\eta}+c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \xi_{n-r}$ 的几何图形是平行的, 基础解系是过原点的超平面, 通解是不过原点 (移开原点) 的平行平面。

值得注意的是, 齐次解的向量图形只要加上任意一个顶点在非齐次图形上的常向量, 就可以得到所有的非齐次解向量, 非齐次解向量的顶点构成了非齐次解的几何图形。

还有一个值得注意的是, 虽然非齐次解向量图形与行向量空间不再正交, 但是非齐次解的几何图形仍然与行空间的几何图形保持垂直的解析性质 (见图 6-8)。

通过上面分析，最终结论就是：

> **非齐次方程组的通解=对应的齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解**

## 非齐次线性方程组求解套路

下面通过一个例题介绍非齐次线性方程组基础解系的求法。要参考齐次线性方程组的解系做法，请点击[齐次线性方程组解的结构](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

`例` 设非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+5 x_2-x_3-x_4=-1 \\
x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=3 \\
3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=1 \\
x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=7
\end{array}\right.
$$

试用一个特解和其导出组的基础解系表示出通解.

解：
**第一步：对增广矩阵化为行最简阶梯形**
对所给方程组的增广矩阵 $\bar{A}$ 施以初等行变换,化为行简化阶梯形

$$
\begin{aligned}
\bar{A} & =\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -2 & 1 & 3 & 3 \\
3 & 8 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -9 & 3 & 7 & 7
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & -14 & 4 & 8 & 8
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{13}{7} & \frac{13}{7} \\
0 & 1 & -\frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & -\frac{4}{7} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

**第二步 写出自由未知量，并令自由未知量为0**
从最简形可以看到，非零行首非零元为$x_1,x_2$, 所以令 $x_1,x_2$ 为未知量，而令$x_3,x_4$为自由未知量，由此可得原方程组一般解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=\frac{13}{7}-\frac{3}{7} x_3-\frac{13}{7} x_4 \\
x_2=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} x_3+\frac{4}{7} x_4
\end{array}\right. ...(5)
$$

其中 $x_3, x_4$ 为自由未知量。
令 $x_3=x_4=0$, 得原方程组的一个**特解**

$$
\alpha_0=\left[\begin{array}{r}
\frac{13}{7} \\
-\frac{4}{7} \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$

> 在求特解时，一般令$x_3=0,x_4=0$ 这样最容易计算。 而求通解时，一般令$x_3=1,x_4=0$ 和 $x_3=0,x_4=1$ 请别搞混淆了。

**第三步 写出通解方程组基础解系**

又因原方程组(5)的导出组的一般解为(也就是去掉常数项的方程)

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=-\frac{3}{7} x_3-\frac{13}{7} x_4 \\
x_2=\frac{2}{7} x_3+\frac{4}{7} x_4
\end{array}\right.
$$

其中 $x_3, x_4$ 为自由未知量.
令自由末知量 $x_3, x_4$ 分别取值为

$$
\left[\begin{array}{l}
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

可得导出组的一个基础解系为

$$
\eta_1=\left[\begin{array}{r}
-\frac{3}{7} \\
\frac{2}{7} \\
1 \\
0
\end{array}\right], \eta_2=\left[\begin{array}{r}
-\frac{13}{7} \\
\frac{4}{7} \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

**第四步 解出基础解系**
于是原方程组通解为

$$
\begin{aligned}
\eta & =\alpha_0+c_1 \eta_1+c_2 \eta_2 \\
& =\left[\begin{array}{r}
\frac{13}{7} \\
-\frac{4}{7} \\
0 \\
0
\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{r}
-\frac{3}{7} \\
\frac{2}{7} \\
1 \\
0
\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{r}
-\frac{13}{7} \\
\frac{4}{7} \\
0 \\
1
\end{array}\right],
\end{aligned}
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数.

以上就是求解非齐次线性方程组的固定套路。

再次强调一下，上面写的阅读本节内容前，需要[齐次方程解](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)的基础

`例` 求解下列线性方程组．

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+2 x_3-7 x_4-4 x_5=10 \\
2 x_1+5 x_2+4 x_3-2 x_5=-2 \\
x_1+2 x_2+2 x_3-2 x_4-2 x_5=2 \\
x_2+2 x_4+2 x_5=-2
\end{array}\right.
$$

解：**STEP1** 使用初等行变换将非齐次线性方程组 $A x = b$ 的增广矩阵 $B =( A , b )$ 化为行阶梯形矩阵 $B_{ref}$ 。

$$
\begin{aligned}
B & =( A , b) \\
& \sim \left(\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 2 & -7 & -4 & 10 \\
2 & 5 & 4 & 0 & -2 & -2 \\
1 & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -2
\end{array}\right) \\
& \sim\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 2 & -7 & -4 & 10 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \\
& = B _{r e f}
\end{aligned}
$$

**STEP2** 根据行阶梯形矩阵 $B _{r e f}$ 判定非齐次线性方程组解的情况。 如果非齐次线性方程组无解，计算终止；有解，进入下一步．

由 $B _{r e f}$ 可知

$$
R( A )=R( B )=3<\text { 未知数的个数 }
$$

方程组有无穷多解．

**STEP3**  使用初等行变换将行阶梯形矩阵 $B _{r e f}$ 化为行最简形矩阵 $B _{r r e f}$ ；

$$
\begin{aligned}
B _{\text {ref }} & =\left(\begin{array}{cccccc} 
1 & 1 & 2 & -7 &

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