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非齐次线性方程组解的结构

## 非齐次线性方程组的解结构

非齐次方程组解的几何图形是齐次方程组解空间与一个特定常向量 $\boldsymbol{d}$ 的和,这实际上就是把齐次方程组解空间的几何图形沿着特定向量方向平移了一个距离, 这个距离等于常向量 $d$ 的长度。

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比如三元齐次线性方程组的例子里, 如果解空间是一个直线或者平面, 那么同一个系数矩阵的非齐次线性方程组的解系就是把这根直线或平面平移一个特解向量的距离
![图片](/uploads/2023-11/image_20231107559cd80.png)

所以, 齐次方程组和对应的非齐次方程组的解析几何图形是平行的, 或者说齐次方程组的解的几何图形和对应的非齐次方程组的解的几何图形是平行的。具体来说, 齐次方程组的所谓基础解系 $c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \xi_{n-r}$ 的几何图形和非齐次方程组的通解 $\boldsymbol{\eta}+c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \xi_{n-r}$ 的几何图形是平行的, 基础解系是过原点的超平面, 通解是不过原点 (移开原点) 的平行平面。

值得注意的是, 齐次解的向量图形只要加上任意一个顶点在非齐次图形上的常向量, 就可以得到所有的非齐次解向量, 非齐次解向量的顶点构成了非齐次解的几何图形。

还有一个值得注意的是, 虽然非齐次解向量图形与行向量空间不再正交, 但是非齐次解的几何图形仍然与行空间的几何图形保持垂直的解析性质 (见图 6-8)。

## 定义

性质 3 设 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，则 $\xi-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解.
证明 因为 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，即： $A \xi=\beta ， A \eta=\beta$ ，所以

$$
A(\xi-\eta)=A \xi-A \eta=\beta-\beta=0,
$$

即： $\alpha-\beta$ 是导出组 $A x=0$ 的解.
性质 4 设 $\xi$ 是 $A x=\beta$ 的任意解， $\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的任意解，则 $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解.
证明 由题设可知， $A \xi=\beta ， A \eta=0$. 于是，

$$
A(\xi+\eta)=A \xi+A \eta=\beta+0=\beta,
$$

即: $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解.
定理 5 如果 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 任意给定的一个解 (通常称为特解)，
$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 是其导出组 $A x=0$ 的一个基础解系，则非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的通解可以表示为:
$\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$, 其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 是任意实数.
由性质 4 可知， $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$ 确实是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解.
证明 下面证明 $A x=\beta$ 的任一解都能写成这种形式.
设 $\gamma$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的任一解，则 $\gamma-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解，
从而存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ ，使得 $\gamma-\eta=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}$,
因此，

$$
\gamma=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\boldsymbol{\eta} .
$$

推论 在非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有解的情形下，解唯一的充分必要条件是它的导出 组 $\boldsymbol{A x}=0$ 只有零解.
证明 (充分性)
假设方程组 $A x=\beta$ 有两个不同的解，则这两个解的差就是导出组 $A x=0$ 的一个非零解，
与导出组 $A x=0$ 只有零解矛盾. 所以由导出组 $A x=0$ 只有零解可知方程组 $A x=\beta$ 有唯一解.
(必要性)
设非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有唯一解 $\eta$. 假设导出组 $A x=0$ 有非零解 $\gamma$ ， 则 $\gamma+\eta$ 是方程组 $A x=\beta$ 的异于 $\eta$ 的另一个解，这与方程组 $A x=\beta$ 有唯一解矛盾.
所以导出组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解.

## 非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组需要再齐次线性方程组的基础上进行计算，其实，这也好理解，比如方程 $ 2x+y=1 $ 要求他的解，如果令 $2x=0$,则$y=1$，换句话说 $2x=0$  可以看成齐次方程组的一个基础解系，因为他的值始终为0，0加上任何数等于他本身，所以，在零解的基础上加上一个常数项，就是非齐次线性方程组的解。

下面通过一个例题介绍非齐次线性方程组基础解系的求法。要参考齐次线性方程组的解系做法，请点击[齐次线性方程组解的结构](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

**例1** 设非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+5 x_2-x_3-x_4=-1 \\
x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=3 \\
3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=1 \\
x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=7
\end{array}\right.
$$

试用一个特解和其导出组的基础解系表示出通解.

解：
**第一步：对增广矩阵化为行最简阶梯形**
对所给方程组的增广矩阵 $\bar{A}$ 施以初等行变换,化为行简化阶梯形

$$
\begin{aligned}
\bar{A} & =\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -2 & 1 & 3 & 3 \\
3 & 8 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -9 & 3 & 7 & 7
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & -14 & 4 & 8 & 8
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr:r}
1 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{13}{7} & \frac{13}{7} \\
0 & 1 & -\frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & -\frac{4}{7} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

**第二步 写出自由未知量，并令自由未知量为0**
由此可得原方程组一般解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=\frac{13}{7}-\frac{3}{7} x_3-\frac{13}{7} x_4 \\
x_2=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} x_3+\frac{4}{7} x_4
\end{array}\right.
$$

其中 $x_3, x_4$ 为自由未知量。
令 $x_3=x_4=0$, 得原方程组的一个特解

$$
\alpha_0=\left[\begin{array}{r}
\frac{13}{7} \\
-\frac{4}{7} \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$

**第三步 写出通解方程组基础解系**

又因原方程组的导出组的一般獬为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=-\frac{3}{7} x_3-\frac{13}{7} x_4 \\
x_2=\frac{2}{7} x_3+\frac{4}{7} x_4
\end{array}\right.
$$

其中 $x_3, x_4$ 为自由未知量.
令自由末知量 $x_3, x_4$ 分别取值为

$$
\left[\begin{array}{l}
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

可得导出组的一个基础解系为

$$
\eta_1=\left[\begin{array}{r}
-\frac{3}{7} \\
\frac{2}{7} \\
1 \\
0
\end{array}\right], \eta_2=\left[\begin{array}{r}
-\frac{13}{7} \\
\frac{4}{7} \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

**第四步 解出基础解系**
于是原方程组通解为

$$
\begin{aligned}
\eta & =\alpha_0+c_1 \eta_1+c_2 \eta_2 \\
& =\left[\begin{array}{r}
\frac{13}{7} \\
-\frac{4}{7} \\
0 \\
0
\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{r}
-\frac{3}{7} \\
\frac{2}{7} \\
1 \\
0
\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{r}
-\frac{13}{7} \\
\frac{4}{7} \\
0 \\
1
\end{array}\right],
\end{aligned}
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数.

以上就是求解非齐次线性方程组的固定套路。

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