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线性代数
第四篇 线性方程组的解
非齐次方程解的性质
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2025-07-08 20:00
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非齐次方程解的性质
## 非齐次方程解的性质 **性质1** 设 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，则 $\xi-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解. 证明 因为 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，即： $A \xi=\beta ， A \eta=\beta$ ，所以 $$ A(\xi-\eta)=A \xi-A \eta=\beta-\beta=0, $$ 即： $\alpha-\beta$ 是导出组 $A x=0$ 的解. **性质2** 设 $\xi$ 是 $A x=\beta$ 的任意解， $\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的任意解，则 $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解. 证明 由题设可知， $A \xi=\beta ， A \eta=0$. 于是， $$ A(\xi+\eta)=A \xi+A \eta=\beta+0=\beta, $$ 即: $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解. 定理：若非齐次线性方程组满足 $r( A )=r( A , \beta )=$ $r, \eta _1, \eta _2, \cdots, \eta _{n-r}$ 是对应的齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系， $\gamma_0$ 是 $A x=\beta$ 的某个解，则 $$ x =\gamma_0+k_1 \eta _1+k_2 \eta _2+\cdots+k
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