最后更新: 2025-01-08 17:11 查看: 113 次反馈同步训练

求解方程组例题例题

## 求解方程组例题例题

`例`求齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2-3 x_4-x_5=0, \\
x_1-x_2+2 x_3-x_4=0, \\
4 x_1-2 x_2+6 x_3+3 x_4-4 x_5=0, \\
2 x_1+4 x_2-2 x_3+4 x_4-7 x_5=0
\end{array}\right.
$$

的通解.

**解** 将系数矩阵作初等行变换, 化成阶梯形矩阵.
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\
4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\
2 & 4 & -2 & 4 & -7
\end{array}\right]
$$
 ![图片](/uploads/2024-06/1da6da.jpg)
 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 是同解方程组, 且 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=3$.
按列找出一个秩为 3 的子矩阵, 可取第一、二、四列, 则剩余第三、五列位置的元素 $x_3, x_5$ 即设为自由未知量.
取自由未知量 $x_3=k_1, x_5=3 k_2$, 代人方程得
$$
\begin{aligned}
& x_4=k_2, \\
& x_2=x_3+x_4+\frac{1}{2} x_5=k_1+\frac{5}{2} k_2, \\
& x_1=-x_2+3 x_4+x_5=-k_1+\frac{7}{2} k_2 .
\end{aligned}
$$

由此得通解
$$
\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-k_1+\frac{7}{2} k_2 \\
k_1+\frac{5}{2} k_2 \\
k_1+0 \\
0+k_2 \\
0+3 k_2
\end{array}\right]=k_1\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}
\frac{7}{2} \\
\frac{5}{2} \\
0 \\
1 \\
3
\end{array}\right] \text {, 其中 } k_1, k_2 \text { 是任意常数. }
$$

【注】(1)由阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ 知, 未知量 $x_2, x_3$ 地位等同, 同样 $x_4, x_5$ 的地位也等同, 自由未知量也可以取为 $x_2, x_4$ 或 $x_2, x_5$ 或 $x_3, x_4$.
(2)方程组求解的回代过程也可以用初等行变换来实现, 即对阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ 继续作初等行变换,化成行最简阶梯形矩阵.
 ![图片](/uploads/2024-06/294479.jpg)
 取自由未知量 $x_3=k_1, x_5=3 k_2$, 则
$$
x_4=k_2, \quad x_2=\frac{5}{2} k_2+k_1, \quad x_1=\frac{7}{2} k_2-k_1,
$$

故通解为
$$
\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{7}{2} k_2-k_1 \\
\frac{5}{2} k_2+k_1 \\
k_1 \\
k_2 \\
3 k_2
\end{array}\right]=k_2\left[\begin{array}{c}
\frac{7}{2} \\
\frac{5}{2} \\
0 \\
1 \\
3
\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right] \text {, 其中 } k_1, k_2 \text { 是任意常数. }
$$
或者取自由未知量 $x_3=1, x_5=0$ 及 $x_3=0, x_5=3$ 分别代入,求得基础解系
$$
\boldsymbol{\xi}_1=[-1,1,1,0,0]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\xi}_2=\left[\frac{7}{2}, \frac{5}{2}, 0,1,3\right]^{\mathrm{T}},
$$

故通解为 $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2$, 其中 $k_1, k_2$ 是任意常数.

`例`求解非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+5 x_2-x_3-x_4=-1, \\
x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=3, \\
3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=1, \\
x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=7,
\end{array}\right.
$$

并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解.
解 对增广矩阵作初等行变换化成阶梯形矩阵.
 ![图片](/uploads/2024-06/6a2ed6.jpg)
 令自由未知量 $x_3=k_1, x_4=k_2$, 代人得
$$
\begin{gathered}
x_2=-\frac{1}{7}\left(4-2 k_1-4 k_2\right)=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_1+\frac{4}{7} k_2 \\
x_1=-1+k_1+k_2-5\left(-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_1+\frac{4}{7} k_2\right)=\frac{13}{7}-\frac{3}{7} k_1-\frac{13}{7} k_2 .
\end{gathered}
$$

得通解为
$$
\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{13}{7}-\frac{3}{7} k_1-\frac{13}{7} k_2 \\
-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_1+\frac{4}{7} k_2 \\
k_1 \\
k_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{13}{7} \\
-\frac{4}{7} \\
0 \\
0
\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{c}
-\frac{3}{7} \\
\frac{2}{7} \\
1 \\
0
\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}
-\frac{13}{7} \\
\frac{4}{7} \\
0 \\
1
\end{array}\right],
$$

其中 $k_1, k_2$ 是任意常数, $\left[-\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, 1,0\right]^{\mathrm{T}},\left[-\frac{13}{7}, \frac{4}{7}, 0,1\right]^{\mathrm{T}}$ 为对应的齐次线性方程组的基础解系.

`例`已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=1, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4=a, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=3, \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+4 x_4=b .
\end{array}\right.
$$

则 $a, b$ 为何值时, 方程组无解? $a, b$ 为何值时,方程组有解? 方程组有解时, 求其全部解.

解 对方程组的增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{b}]$ 作初等行变换.
$$
\begin{aligned}
{[\boldsymbol{A}: \boldsymbol{b}] } & =\left[\begin{array}{llll:l}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 4 & b
\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -1 & b-5
\end{array}\right] \\
& \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a \\
0 & 0 & 0 & 1 & b-2
\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & b-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a
\end{array}\right] \\
& {\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & b-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a
\end{array}\right] . }
\end{aligned}
$$
当 $a \neq 0, b$ 任意时, $r(\boldsymbol{A})=3 \neq r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])=4$, 方程组无解;
当 $a=0, b$ 任意时, $r(\boldsymbol{A})=3=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])<4$, 方程组有无穷多解.
取自由未知量 $x_3=k$, 代人方程, 解得
$$
x_4=b-2, \quad x_2=3-2(b-2)-2 k=-2 k+7-2 b, \quad x_1=-2+k+(b-2)=k+b-4,
$$

故通解为
$$
\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
k+b-4 \\
-2 k+7-2 b \\
k \\
b-2
\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
b-4 \\
7-2 b \\
0 \\
b-2
\end{array}\right],
$$

其中 $k$ 是任意常数.

## 二、抽象型线性方程组
“系数矩阵为抽象矩阵”的方程组, 要把握以下四种基本问题.
1. 方程组有解的条件及解的判别
这里的理论主要有以下三条.
(1) $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ :
总有解, 至少有零解.
(2) $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ :
$r(\boldsymbol{A})=n$, 只有零解;
$r(\mathbf{A})<n$, 有无穷多解.
(3) $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ :
$r(\boldsymbol{A}) \neq r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])$, 无解;
$r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])=n$, 有唯一解;
$r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])=r<n$, 有无穷多解.

`例` 设非齐次线性方程组为 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$, 则 ( ).
(A) 当 $r(\boldsymbol{A})=m$ 时, 方程组有解
(B) 当 $r(\boldsymbol{A})=n$ 时, 方程组有唯一解
(C) 当 $m=n$ 时, 方程组有唯一解
(D) 当 $r(\boldsymbol{A})<n$ 时, 方程组有无穷多解

分析 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解 $($ 无解 $) \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])(r(\boldsymbol{A}) \neq r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]))$.
题设条件未提及 $r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}])$, 这正是要求读者考虑的问题.
解 应选 (A).
因 $r(\boldsymbol{A})=m$ 时, $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关, 增广矩阵在 $\boldsymbol{A}$ 的基础上增加一列, 即行向量增加一个分量,仍线性无关, 故有 $r(\boldsymbol

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