最后更新: 2025-03-09 08:27 查看: 138 次反馈同步训练

考研试题训练

> 方程组基础解系是整个线性代数核心内容，因此，需要通过大量习题进行训练。

## 方程组解系例题实战
###  方程组 $A x=0$ 的基础解系的讨论
基础解系是一个十分重要的知识点, 给出
$$
\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \quad r(\boldsymbol{A})=r,
$$

>若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 满足: (1) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_i=\mathbf{0}, i=1,2, \cdots, s$; (2) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关; (3) $s=n-r$, 则称 $\boldsymbol{\alpha}_1$, $\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系. 读者要验证上述(1)(2)(3)是否都成立, 缺一不可.

`例` 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32}\end{array}\right]$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=$ 0 线性无关解的个数分别是 ( ).
(A) 0,1
(B) 1,0
(C) 2,1
(D) 2,0
解 应选 (B).
齐次线性方程组线性无关解的个数取决于其系数矩阵的秩.
由 $\boldsymbol{A B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$, 知 $r(\boldsymbol{A B})=2$, 即有
$$
2=r(\boldsymbol{A B}) \leqslant \min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} \leqslant \min \{2,3\} .
$$

因此 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=2$, 所以齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}$ 线性无关解的个数分别为 $3-r(\boldsymbol{A})=1,2-$ $r(\boldsymbol{B})=0$, 故本题应选 (B).

`例` 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right]$ 是 4 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $[1,0,1,0]^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可以为 ( ).
(A) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3$
(B) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$
(C) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$
(D) $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$
解 应选 (D).
依题设, 知 $r(\boldsymbol{A})=4-1=3,|\boldsymbol{A}|=0$, 且 $r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$.
又由 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 知 $\boldsymbol{A}$ 的列向量都为方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 由 $r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$, 知 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系由三个线性无关解构成. 又因 $[1,0,1,0]^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 有 $1 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+1 \boldsymbol{\alpha}_3+0 \boldsymbol{\alpha}_4=\mathbf{0}$, 知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3$线性相关, 从而知 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 或 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 故选择 (D).

`例`设 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则下列向量组中也是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系的是 ( ).
(A) $\xi_1-\xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3-\xi_1$
(B) $\xi_1+\xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3+\xi_1$
(C) $\xi_1+\xi_2-\xi_3, \xi_1+2 \xi_2+\xi_3, 2 \xi_1+3 \xi_2$
(D) $\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1$
分析 本题基础解系应由三个线性无关的解向量组成, 题设的四个选项, 均是三个向量, 且由解的性质知, 三个向量均是解向量, 故关键是看哪个选项是线性无关向量组.
解 应选 (D).
$$
\begin{aligned}
& \left(\xi_1-\boldsymbol{\xi}_2\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_3-\boldsymbol{\xi}_1\right)=\mathbf{0} ; \\
& -\left(\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_3+\boldsymbol{\xi}_1\right)=\mathbf{0} ; \\
& 2 \xi_1+3 \boldsymbol{\xi}_2=\left(\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_1+2 \boldsymbol{\xi}_2+\boldsymbol{\xi}_3\right) .
\end{aligned}
$$

故 (A), (B), (C)中向量组都是线性相关的, 由排除法, 应选(D).

对于(D),
$$
\left[\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1\right]=\left[\xi_1, \xi_2, \xi_3\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right],
$$

其中 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关, 又
$$
\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|=2 \neq 0,
$$

因此 $\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1$ 是线性无关的, 故应选(D).
###  线性方程组系数矩阵列向量和解的关系
（1）齐次线性方程组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n x_n=\mathbf{0}
$$

的解是使 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 的线性组合为零向量时的线性组合的系数.
（2）非齐次线性方程组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n x_n=\boldsymbol{\beta}
$$

的解是 $\boldsymbol{\beta}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表出的表出系数.
简而言之, “方程组的解就是描述列向量组中各向量之间数量关系的系数. ”这个观点对于解题也很有用处.

`例` 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right]$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是 4 维列向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, r(\boldsymbol{A})=3$. 若 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3+4 \boldsymbol{\alpha}_4$, 则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解是 $\qquad$
解 应填 $k[1,-2,-1,0]^{\mathrm{T}}+[1,2,3,4]^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 是任意常数.
因 $\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+0 \boldsymbol{\alpha}_4=\mathbf{0}$, 故 $\boldsymbol{\xi}=[1,-2,-1,0]^{\mathrm{T}}$ 是对应齐次线性方程组的非零解, 又 $\boldsymbol{\eta}=[1,2,3,4]^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的特解, $r(\boldsymbol{A})=3$, 故线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$, 其中 $k$ 是任意常数.

`例` 已知线性方程组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\boldsymbol{\alpha}_3 x_3+\boldsymbol{\alpha}_4 x_4=\boldsymbol{\alpha}_5
$$

有通解 $[2,0,0,1]^{\mathrm{T}}+k[1,-1,2,0]^{\mathrm{T}}$, 则下列说法正确的是 ( ).
(A) $\boldsymbol{\alpha}_5$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出
(B) $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出
(C) $\boldsymbol{\alpha}_5$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表出
(D) $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_5$ 线性表出
解 应选 (B).
由题设条件知
$$
\boldsymbol{\alpha}_5=(k+2) \boldsymbol{\alpha}_1-k \boldsymbol{\alpha}_2+2 k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4 .
$$
$\boldsymbol{\alpha}_5$ 的表出式中必定有 $\boldsymbol{\alpha}_4$, 故 $\boldsymbol{\alpha}_5$ 不可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 表出, 排除 (A);
$\boldsymbol{\alpha}_5$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 表出, 取 $k=-2$, 即有 $\boldsymbol{\alpha}_5=2 \boldsymbol{\alpha}_2-4 \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$, 排除 (C);
$\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_5$ 表出, 取 $k=0$, 即有 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5-2 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2$, 排除 (D).
由排除法,应选 (B).
对于 (B), 由题设条件知 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)=3$. 若 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出, 因 $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$, 则 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right) \leqslant 2$, 这和 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)=3$ 矛盾, 故(B) 成立.

## 两个方程组的公共解
(1) 齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=0$ 和 $\boldsymbol{B}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的公共解是满足方程组 $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 的解, 即联立求解.同理, 可求 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的公共解. 这里对读者的计算能力要求较高, 理论上没有什么难点.
（2）求出 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解 $k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\xi}_s$, 代人 $\boldsymbol{B}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 求出 $k_i(i=1,2, \cdots, s)$ 之间的关

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