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两个线性方程组的公共解与同解

## 两个线性方程组的公共解与同解
设有 $m \times n$ 非齐次线性方程组

$$
A x=b ...(1)
$$

和 $s \times n$ 非齐次线性方程组

$$
B x=d ...(2)
$$

则它们的导出方程组分别为

$$
\begin{aligned}
& A x=0 ...(3) \\
& B x=0 ...(4)
\end{aligned}
$$

一、线性方程组有公共解的充要条件

定理 1 齐次线性方程组（3）与（4）有非零公共解的充要条件是

$$
\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]<n .
$$

证 易知，齐次线性方程组（3）与（4）有非零公共解的充要条件是齐次线性方程组

$$
\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right] x=0 ...(5)
$$

有非零解，这等价于方程组（5）的系数矩阵的秩小于未知量的个数：

$$
\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]<n .
$$

定理 2 非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解的充要条件是

$$
\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{d}
\end{array}\right] .
$$

证 非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解的充要条件是非齐次线性方程组

$$
\left[\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right] x=\left[\begin{array}{l}
b \\
d
\end{array}\right]
$$

有解，这等价其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩：

$$
\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{d}
\end{array}\right] .
$$

由定理 2，若

则非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解，从而非齐次线性方程组（1）与（2）分别有解，故

$$
\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}
\end{array}\right], \quad \operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{d}
\end{array}\right] .
$$

由上，

> **求两个（齐次或非齐次）线性方程组的公共解有三种方法：
（a）将两个方程组联立求解。
（b）先求出一个方程组的通解 ${ }^{+}$，再代入另一个方程组中，确定通解中参数的关系．
（c）先分别求出两个方程组的通解，令两个通解表达式相等，确定参数的关系．**

## 齐次线性方程组同解的充要条件

定理3下列命题等价：
（i）齐次线性方程组（3）与（4）同解；
（ii）齐次线性方程组（3）、（4）、（5）同解；
（iii） $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ ；
（iv） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组与 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价．
证（i）$\Rightarrow$（ii）因为齐次线性方程组（3）与（4）同解，所以若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（3）的解，则 $\boldsymbol{\xi}$ 也是方程组（4）的解，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$ ，从而 $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$ ，故 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（5）的解．若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（4）的解，同理可证： $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（5）的解．反之，若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（5）的解，则显然 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（3）和（4）的解．于是方程组（3）、 （4）、（5）同解．
（ii）$\Rightarrow$（iii）由于方程组（3）、（4）、（5）同解，因此方程组（3）、（4）、（5）的解空间相等，从而它们的维数相等，即

$$
n-\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n-\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=n-\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right],
$$

故（iii）成立。
（iii）$\Rightarrow$（iv）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组的极大线性无关组，则由

$$
\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]
$$

可知， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 也是 $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ 的行向量组的极大线性无关组，所以 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$线性表示，因而 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组能由 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性表示．

同理，由

$$
\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{c}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{array}\right]
$$

可证： $\boldsymbol{A}$ 的行向量组能由 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性表示．因此 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组与 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价．
（iv）$\Rightarrow$（i）因为 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组与 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价，所以存在两个矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ ，使得

$$
A=P B, \quad B=Q A
$$

若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（3）的解，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$ ，则由上式知， $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$ ，故 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（4）的解；若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（4）的解，则同理可证： $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组（3）的解．于是齐次线性方程组（3）与（4）同解．

根据定理3，容易给出判定齐次线性方程组（3）与（4）同解的步骤：
（a）对方程组（3）的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 做初等行变换化为阶梯矩阵 $\boldsymbol{A}_1$ ，并将其非零行数记为 $r$ ．
（b）对方程组（4）的系数矩阵 $\boldsymbol{B}$ 做初等行变换化为阶梯矩阵 $\boldsymbol{B}_1$ ，并将其非零行数记为 $s$ ．当 $r \neq s$时，方程组（3）与（4）不同解．
（c）当 $r=s$ 时，对分块矩阵 $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A}_1 \\ \boldsymbol{B}_1\end{array}\right]$ 做初等行变换化为阶梯矩阵 $\boldsymbol{C}_1$ ．若 $\boldsy

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