最后更新: 2025-03-05 09:27 查看: 70 次反馈同步训练

同解方程组

## 同解方程组
`例`已知方程组（I）和方程组（II）为
（I）$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right.$
（II）$\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0, \\ x_2-x_3+x_4=0 .\end{array}\right.$
求（I）和（II）的公共解。
解 法1 求（I）和（II）的公共解，就是同时满足（I）和（II）中的 4 个方程的解．即求解方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2 & =0 \\
x_2-x_4 & =0 \\
x_1-x_2+x_3 & =0 \\
x_2-x_3+x_4 & =0
\end{aligned}\right.
$$

对系数矩阵进行初等行变换

$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

$r=3, n=4, n-r=1$ ，基础解系包括 1 个解向量，自由未知量取 $x_4$ ，此时同解方程组为

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2 & =0 \\
x_2 & =x_4 \\
x_3 & =2 x_4
\end{aligned}\right.
$$

取 $x_4=1$ ，得基础解系：$\eta=(-1,1,2,1)^{ T }$
故（I）和（II）的公共解为 $x =k \eta=k(-1,1,2,1)^{ T }$（其中 $k$ 为任意常数）．

法2 求方程组（I）和（II）的一般解的公共部分．先求方程组（I）的基础解系

$$
A_1=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{array}\right)
$$

$$
r=2, n=4, n-r=2
$$

基础解系应包括两个线性无关解，取自由未知量为 $x_3, x_4$ 。此时同解方程组为

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2 & =0 \\
x_2 & =x_4
\end{aligned}\right.
$$

取 $x_3=1, x_4=0$ ，得 $\xi_1=(0,0,1,0)^{ T }$ ；取 $x_3=0, x_4=1$ ．得 $\xi_2=(-1,1,0$ ， $1)^{ T }$ 。

再求方程组（II）的基础解系

$$
A_2=\left(\b

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：考研试题训练

下一篇：本章思维导图

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)