最后更新: 2025-09-21 10:58 查看: 717 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵相似

## 矩阵相似
**定义** 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 若有可逆矩阵 $P$, 使

$$
\boxed{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B} 
}
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，记做$ A \sim B$, 或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1} A P$ 称为对$\boldsymbol{A}$ 进行**相似变换**。

可逆矩阵 $P$ 称为把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 的相似**变换矩阵**.

既然定义有了，现在有一个问题：给你一个矩阵$A$，如何求的他的相似矩阵$B$和$P$， 此时前面学的特征值和特征向量的作用就可以用上了。换句话说，学习特征值与特征向量，是为这里做准备的。

### 矩阵相似的求法

`例` 求 $A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -1 & 7 \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -8 & 7\end{array}\right)$ 的相似矩阵

解：只需求 1 个相似矩阵时，不妨令 $P=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right](|P| \neq 0)$ ，
则 $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}7 & -1 & 7 \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -8 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1/2\end{array}\right]$ 即为所球

若需求所有的相似矩阵，对于矩阵 $P$ 满足 $|P| \neq 0$
$\frac{p^*}{|p|} A P$ 即为所求 $\left(p^*=p^{-1}|p|\right)$

从这里可以看到，如果任给一个矩阵$A$，要求他的相似矩阵，可以有无数个，因此，单纯的说求一个矩阵的相似矩阵，意义不大。

但是，如果我们把B限制为对角形矩阵，则情况立刻不一样，此时变换唯一，且可求解

## 矩阵相似对角形的求法
先给一个公式,后面 [矩阵与对角形相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2598) 会介绍，
$$
\boxed{
P^{-1}AP=\Lambda
}
$$

把上面这个公式稍微变形一下，左乘$P$,右乘 $P^{-1}$，就得到
$$
\boxed{
A=P \Lambda P^{-1}
}
$$

这说明**任意给一个矩阵A，可以找到一个对角形矩阵$\Lambda$ （有些找不到）**, 接下来一个问题，怎么找到这里的$P$和$\Lambda$ ？ 答案就是特征值与特征向量。

`例`  设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-4 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$

求他的相似矩阵$P$和$\Lambda$

解: 先求 $A$ 的特征值．

$$
\begin{aligned}
|A-\lambda E| & =\left|\begin{array}{ccc}
-2-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
-4 & 1 & 3-\lambda
\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}
-2-\lambda & 1 \\
-4 & 3-\lambda
\end{array}\right| \\
& =(2-\lambda)\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=-(\lambda+1)(\lambda-2)^2,
\end{aligned}
$$

所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ．
再求 $A$ 的特征向量．
当 $\lambda_1=-1$ 时，解方程 $(A+E) x=0$ ．由

$$
A+E=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
-4 & 1 & 4
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

得对应的特征向量

$$
p _1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

当 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 时，解方程 $( A -2 E ) x = 0$ ．由

$$
A -2 E =\left(\begin{array}{rrr}
-4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 1
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{rrr}
-4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

得对应的线性无关特征向量

$$
\begin{aligned}
&p_2=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), p_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
4
\end{array}\right)  
\end{aligned}
$$

> **分析上面的结论**：

通过上面的解，我们找到3个特征值和3个特征向量：

$\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$

$$
\begin{aligned}

&p_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0  \\
1
\end{array}\right),

&p_2=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), 
\quad

&p_3=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
4
\end{array}\right)  
\end{aligned}
$$

> **我们只要把他们按照对应的位置排好即可，就可以找到相似矩阵**。

**排法1**：使用  $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ 
即
若记

$$
\Lambda_1 =\left( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \right)=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$

$$
P_1 =\left( p _1, p _2, p _3\right)=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 &

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