最后更新: 2025-09-21 16:19 查看: 1299 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二次型化标准形（正交变换法）

正交变换法，很多老师不讲，主要是计算量比较大，而且他的步骤和计算特征值与特征向量重复。**本节内容可以概括为**：对于给定的二次型$f=X^TAX$,求正交替换$X=QY$,等价于已知矩阵$A$，求正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ=\Lambda$, 下面先从理论上给出证明，再通过例题介绍如何求正交矩阵$Q$

## 理论证明
任给二次型 $f=\sum_{i, j=1}^n a_i x_i x_j\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ ，总有正交变换 $x=P y$ ，使 $f$ 化为标准形

$$
f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2,
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值.

证明：略。

**推论** 任给 $n$ 元二次型 $f(x)=x^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\right)$ ，总有可逆变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{z}$ ，使 $f(\boldsymbol{C} z)$ 为规范形.
证明 ：略

> 简单说明：二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$  使用的是**对称矩阵**，而前面介绍过，实对称矩阵 $A$ 必[正交相似于对角阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2601) 即$\Lambda = Q^{-1}A Q $， 如果Q是正交矩阵，会有$Q^T=Q^{-1}$, 从而 $\boldsymbol{A}$ 必合同到对角阵，即存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$（对角阵），因而取非奇异线性替换为 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 可将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 化为标准二次型

## 正交变换法的基本步骤
对于 $f= x ^{\top} A x$ ．
（1）在确定 $A$ 是实对称矩阵的条件下，求 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ．
（2）求 $A$ 对应于特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的特征向量 $\xi_1, \xi _2, \cdots, \xi_n$ ．
（3）将 $\xi _1, \xi _2, \cdots, \xi _n$ 正交化（若需要的话），单位化为 $\eta _1, \eta _2, \cdots, \eta _{ n }$ 
（4）令 $Q =\left[ \eta _1, \eta _2, \cdots, \eta _n\right]$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q ^{-1} A Q = Q ^{ \top } A Q = \Lambda$ ．
于是

$$
f=x^{\top} A x \xlongequal{\underline{x}=\underline{Q} y}(Q y)^{\top} A(Q y)=y^{\top} Q^{\top} A Q y= y ^{\top} A y
$$

下面通过例题来演示上面的步骤。

`例`用正交替换把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$化为标准形，并写出所作的正交替换。

解： 
**STEP1 写出二次型的矩阵**

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{array}\right]
$$

**STEP2 计算A的特征**
由 $A$ 的特征方程

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{rrr}
\lambda & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \lambda & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \lambda
\end{array}\right|=(\lambda-1)\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^2=0,
$$

得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-\frac{1}{2}$.

①当 $\lambda_1=1$ 时, 解齐次线性方程组 $(E-A) X=O$, 得对应于 $\lambda_1=1$的特征向量 $\alpha _1=(1,1,1)^T$  (特征向量求法参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1869))，

单位化得 $\gamma_1=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^T$ ；(施密特单位化参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=493))

②当 $\lambda_2=\lambda_3=-\frac{1}{2}$ 时, 解齐次线性方程组 $\left(-\frac{1}{2} E-A\right) X=O$, 得对应于 $\lambda_2=\lambda_3=-\frac{1}{2}$ 的线性无关的特征向量 $\alpha _2=(-1,1,0)^T$, $\alpha _3=(-1,0,1)^T$, 正交化并单位化, 得

$$
\gamma_2=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T
$$

$$
\gamma_3=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)^T
$$

令
 $$
 Q=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right)=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{array}\right]
$$

$Q$  是正交矩阵, 使得

$$
Q^T A Q=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{2}
\end{array}\right]
$$

这样可以很容易写出：（1）主对角线是特征值。（2）特征值是多项式系数
 ![图片](/uploads/2025-04/88dd5e.jpg)
 
于是得到正交替换 $X=Q Y$, 即

$$
\left\{\begin{array}{l

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