最后更新: 2025-04-25 16:50 查看: 766 次反馈同步训练

二次型化标准形（初等变换法）

## 用初等变换法化二次型为标准形
 用配方法化二次型为标准行虽然比较直观，但是当变量较多时，十分麻烦，下面介绍用初等变换法化二次型为标准形。
 事实上，任一二次型都可以通过作非退化线性替换化为标准形这一结论等价于任一非零对称矩阵都与对角阵合同。给定一个二次型 $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 等价于给定一个非零的对称矩阵 $A$ 。求非退化线性替换 $Y=C X$ 化二次型为标准形等价于求可逆矩阵 $C$ 使得 $C^T A C$ 为对角阵。而矩阵 $C$ 可逆等价于它可以表示成一列初等矩阵的乘积，即 $C=P_1 P_2 \ldots P_m$ ，其中 $P_1, P_2, \ldots, P_m$ 均为初等矩阵。于是求矩阵 $C$ 的问题就转化为求初等矩阵 $P_1, P_2, \ldots$, $P_m$ 使得

$$
P_m^T \ldots P_2^T P_1^T A P_1 P_2 \ldots P_m
$$

为对角阵的问题。而后者只需用初等列变换和相应的初等行变换将 $A$ 化为对角阵，然后将所作的列变换依次记录下来即可。

上面主要是理论依据，稍微了解即可，在实际运用中，重点是掌握如何用初等变换法化二次型为标准形

>也就是说，对矩阵 $\left[\begin{array}{c}A \\ E \end{array}\right]$ 施以上述初等变换得到 $\left[\begin{array} \quad \Lambda \\ C \end{array}\right]$ 则 $C$ 就是所求的可逆矩阵， $X=C Y$ 是所求的非退化线性替换， $Y^T \Lambda Y$ 是所求二次型的标准形。 在变换时，必须成对做变换变换，比如第一次是第一列第一行，则下一次是第一行第一列。

`例`设

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)
$$

下面用初等列变换和相应的初等行变换将 $A$ 化为对角阵。为了记录所作的列变换，考虑如下矩阵:
**首先，我们把此矩阵和单位矩阵合并**

$$
C=\binom{A}{E}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将 $C$ 的第2列的 1 倍加到第1列，再将 $C$ 的第 2 行的 1 倍加到第 1 行，得

> **这里核心要点是这里的一次初等变换，必须包含两个操作：一个列变换和一个行变换必须同时做。比如我对第2列1倍加到第一列做完后，接下来就要做对应的对第2行的1倍加到第1行上去, 我们说过二次型是对称的，当你对列放大X倍时，对行也必须同时放大X倍。一套动作包含行列2个变换，可以保证比利性。**

$$
\left(\begin{array}{llll}
4 & 3 & 3 & 2 \\
3 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第1列的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 2 列，再将第 1 行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 2 行，得

> **在整个变换过程中，你可以发现上面的那个矩阵始终是对称矩阵**。

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 3 & 2 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
3 & -\frac{5}{4} & 3 & 2 \\
2 & -\frac{1}{2} & 2 & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & 0 & 0 \\
1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 1 列的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 3 列，再将第 1 行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 3 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\
2 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & 0 \\
1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 1 列的 $-\frac{1}{2}$ 倍加到第 4 列，再将第 1 行的 $-\frac{1}{2}$ 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
1 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 2 列的 -5 倍加到第 3 列，再将第 2 行的 -5 倍加到第 3 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 7 & 3 \\
0 & -\frac{1}{2} & 3 & 0 \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第2列的 -2 倍加到第 4 列，再将第 2 行的 -2 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & 1 \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 2 列的 $-\frac{3}{7}$ 倍加到第 4 列，再将第 2 行的 $-\frac{3}{7}$ 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{2}{7} \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{2}{7} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{7} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

记

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{2}{7}
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{2}{7} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{7} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

此时$C$即为所求。

`例`设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$, 求矩阵$C$, 使 $C^T A C$ 为对角形矩阵.

解:

**对于矩阵$A$把他和单位阵$E$合并，然后把$A$用初等变换法化为对角阵$\Lambda$，则$E$就变成了$C$**

$$
\left[\begin{array}{l}
A \\
E
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}

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