最后更新: 2024-10-18 09:29 ● 参与者查看: 364 次纠错分享参与项目词条搜索

二次型化标准形（初等变换法）

## 用初等变换法化二次型为标准形
 用配方法化二次型为标准行虽然比较直观，但是当变量较多时，十分麻烦，下面介绍用初等变换法化二次型为标准形。
 事实上，任一二次型都可以通过作非退化线性替换化为标准形这一结论等价于任一非零对称矩阵都与对角阵合同。给定一个二次型 $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 等价于给定一个非零的对称矩阵 $A$ 。求非退化线性替换 $Y=C X$ 化二次型为标准形等价于求可逆矩阵 $C$ 使得 $C^T A C$ 为对角阵。而矩阵 $C$ 可逆等价于它可以表示成一列初等矩阵的乘积，即 $C=P_1 P_2 \ldots P_m$ ，其中 $P_1, P_2, \ldots, P_m$ 均为初等矩阵。于是求矩阵 $C$ 的问题就转化为求初等矩阵 $P_1, P_2, \ldots$, $P_m$ 使得

$$
P_m^T \ldots P_2^T P_1^T A P_1 P_2 \ldots P_m
$$

为对角阵的问题。而后者只需用初等列变换和相应的初等行变换将 $A$ 化为对角阵，然后将所作的列变换依次记录下来即可。

上面主要是理论依据，稍微了解即可，在实际运用中，重点是掌握如何用初等变换法化二次型为标准形

>也就是说，对矩阵 $\left[\begin{array}{c}A \\ E\end{array}\right]$ 施以上述初等变换得到 $\left[\begin{array} \quad λ \\ C \end{array}\right]$ 则 $C$ 就是所求的可逆矩阵， $X=C Y$ 是所求的非退化线性替换， $Y^T \Lambda Y$ 是所求二次型的标准形。

`例`设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$, 求矩阵$C$, 使 $C^T A C$ 为对角形矩阵.

解:

$$
\left[\begin{array}{l}
A \\
E
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

继续化简

$$
\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

因此

$$
C=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], C^T A C=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

此例的等价叙述为: 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+$ $2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 经过非退化线性替换 $X=C Y$, 化为标准形 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.

`例` 化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=$ $2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-4 x_2 x_3$ 为标准形。

解 此二次型对应的矩阵为

$$
\begin{gathered}
A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & -2 & 0
\end{array}\right], \\
{\left[\begin{array}{l}
A \\
E
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & -2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
-1 & -2 & 0 \\
\hdashline 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -2 \\
-1 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]}
\end{gathered}
$$

继续
$$
\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\
-1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\hdashline 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

继续

$$
\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{3}{2} & 4 \\
  1 & -\frac{1}{2} & 2 \\
1 & \frac{1}{2} & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\hdashline 1 & -\frac{1}{2} & 2 \\
1 & \frac{1}{2} & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

所以，

$$
\begin{aligned}
& C=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -\frac{1}{2} & 2 \\
1 & \frac{1}{2} & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right],|C|=1 \neq 0
\end{aligned}
$$

令

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=z_1-\frac{1}{2} z_2+2 z_3 \\
x_2=z_1+\frac{1}{2} z_2-z_3 \\
x_3= z_3
\end{array},\right.
$$

代人原二次型，可得其标准形

$2 z_1^2-\frac{1}{2} z_2^2+4 z_3^2$

>值得注意的是, 同一个二次型的标准形不惟一,  如果上式继续作初等变换，还可以化的二次型的标准行为 $2 z_1^2-2 z_2^2+4 z_3^2$

`例`设

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)
$$

下面用初等列变换和相应的初等行变换将 $A$ 化为对角阵。为了记录所作的列变换，考虑如下矩阵:

$$
C=\binom{A}{E}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将 $C$ 的第2列的 1 倍加到第1列，再将 $C$ 的第 2 行的 1 倍加到第 1 行，得

$$
\left(\begin{array}{llll}
4 & 3 & 3 & 2 \\
3 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第1列的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 2 列，再将第 1 行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 2 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 3 & 2 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
3 & -\frac{5}{4} & 3 & 2 \\
2 & -\frac{1}{2} & 2 & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & 0 & 0 \\
1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 1 列的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 3 列，再将第 1 行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第 3 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\
2 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & 0 \\
1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 1 列的 $-\frac{1}{2}$ 倍加到第 4 列，再将第 1 行的 $-\frac{1}{2}$ 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
1 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 2 列的 -5 倍加到第 3 列，再将第 2 行的 -5 倍加到第 3 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 7 & 3 \\
0 & -\frac{1}{2} & 3 & 0 \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{1}{2} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第2列的 -2 倍加到第 4 列，再将第 2 行的 -2 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & 1 \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

将上面的矩阵的第 2 列的 $-\frac{3}{7}$ 倍加到第 4 列，再将第 2 行的 $-\frac{3}{7}$ 倍加到第 4 行，得

$$
\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{2}{7} \\
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{2}{7} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{7} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

记

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{2}{7}
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & -\frac{3}{4} & 3 & -\frac{2}{7} \\
1 & \frac{1}{4} & -2 & -\frac{1}{7} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

此时$C$即为所求。

上一篇：二次型化标准形（配方法）

下一篇：二次型化标准形（正交变换法）

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)