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概率论与数理统计
第二篇 一维随机变量及其分布
随机变量的定义
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更新:
2024-10-27 09:26
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随机变量的定义
## 引言 许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系,但是我们可以通过映射让它与实数关联。 比如扔硬币,规定正面向上为1,反面向上为0,那么扔两次的结果就是: $\Omega=\{00,01,10,11\}$ 如果以$X$记正面向上的次数,那么上面样本空间里$00$表示两次反面朝上一共出现了$0$次,$01$和$10$表示一个正面朝上的次数,一共出现了2次可以用$2$表示,$11$表示两次正面朝上,一共出现了1次,可以用$1$表示,这样样本空间就可以写成 $X(\omega)=\{0,2,1\}$ 通过简单的“映射”,我们把试验的结果转换为了实数轴$R$上的函数。 再如公交车每隔5分钟来一次,那么一个人到公交车站台等车的时间就是 $\Omega=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$ 可以直接把上面的等车时间映射为实数轴$R$上的函数 $X(\omega)=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$ 在上面这两种映射里,这仅是映射的一种方式,就像扔硬币,你也可以映射“扔两次结果一样”的记做1,”扔两次结果不一样”的记做0,都是可以的,这不重要,**重要的是他都可以映射为定义域为实数的函数**。 >为什么要做映射?因为数学喜欢研究抽象的。就像小时候学习,2个苹果加3个梨等于5个水果,我们抽象出$2+3=5$, 这样再遇到 2个橘子加3个香蕉就知道等于5个水果。 下面我们在通过一个例子来引入随机变量的概念. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301034e441c8.png) **定义1** 在随机试验E中, $\Omega$ 是相应的样本空间,如果对 $\Omega$ 中的每一个样本点 $\omega$ ,有唯一一个实数 $X(\omega)$ 与它对应,那么就把这个定义域为 $\Omega$ 的单值实值函数$X=X(\omega)$ 称为是 (一维) 随机变量. 随机变量一般用大写字母 $X, Y, Z$ 表示. 引进随机变量后,随机事件及其概率可以通过随机变量来表达. 01 如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值,则称其为**离散型随机变量**。 02 如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间(或某几个区间的并),则称其为**连续型随机变量**。 离散型随机变量:可能取值是可数有限个或可列无穷多个。 例如:火灾发生的次数、120电台电话被呼叫次数、筛子点数等 连续型随机变量:是指可能值可以连续的充满某个空间。 例如:灯泡的寿命、等车的时间等等。 ## 随机变量举例 随机变量$X$是样本点的函数,这个函数的自变量是样本点,可以是数,也可以不是数,定义域是样本空间,而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数,也可以让多个样本点对应于一个实数。 比如检查三个产品看看每个产品是否合格,每个产品有合格和不合格两种可能,这样三个产品就有8种可能,即有 8 个样本点, 若记 $X$ 为 “三个产品中的不合格品数”, 则 $X$的取值与样本点之间有如下对应关系: ![图片](/uploads/2023-12/image_2023122793361ac.png) 这样 $X$ 取各种值就是如下的的事件: $\{X=0\}=\left\{\omega_1\right\}$ $\{X=1\}=\left\{\omega_2, \omega_3, \omega_4\right\},$ $\{X=2\}=\left\{\omega_5, \omega_6, \omega_7\right\}$ $\{X=3\}=\left\{\omega_8\right\}$ 有了随机变量,我们就可以知道,不合格超过1次的概率就是$P(X>1)$。 ## 为什么引入随机变量的概念 顾名思义,随机变量就是"其值随机会而定"的变量,正如随机事件是"其发生与否随机会而定"的事件。机会表现为试验结果,一个随机试验有许多可能的结果,到底出现哪一个要看机会,即有一定的概率。最简单的例子莫如掷骰子,掷出的点数 $X$ 是一个随机变量,它可以取 $1, \cdots, 6$ 等 6 个值。到底是哪一个,要等掷了骰子以后才知道。因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数。从这一点看,它与通常的函数概念又没有什么不同。把握这个概念的关键之点在于试验前后之分:在试验前,我们不能预知它将取何值,这要凭机会,"随机"的意思就在这里,一旦试验后,取值就确定了。比如你在 3 月 31 日买了一张奖券,到 6 月 30 开奖。当你买下这张奖券的后我就对你说:你中奖的金额 $X$ 是一个随机变量,其值要到 6月 30 日"抽奖试验"做过以后才能知道. 明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子. 比如, 你在某厂大批产品中随机地抽出 100 个, 其中所含废品数 $X$ ;一月内某交通路口的事故数 $X$ ;用天平秤量某物体的重量的误差 $X$ ;随意在市场上买来一架电视机,其使用寿命 $X$ 等等,都是随机变量。 随机变量的反面是所谓"确定性变量",即其取值遵循某种严格的规律的变量. 例如你以每小时 $a$ 公里的匀速从某处向东行,则经 $t$ 小时后, 你距该处 at 公里。这一点我不待你做完这个试验 (即走了 $t$ 小时后)就能准确预知。在这种理想的条件下,你与该处的距离 $X$ 并非随机变量. 然而,你的速度必然会受到许多因素,包括随机性因素的影响, 而成为不能预知的, 这使你在 $t$ 时间内行走 的距离 $X$ 成为随机变量. 从绝对的意义讲,许多通常视为确定性变量的量,本质上都有随机性,只是由于随机性干扰不大,以至在所要求的精度之内,不妨把它作为确定性变量来处理。 再考虑一个打靶的试验。在靶面上取定一个直角坐标系 $O x y$ ,则命中的位置由其坐标 $(X, Y)$ 来刻画, $X, Y$ 都是随机变量,而 $(X, Y)$ 则称为一个二维随机向量或二维随机变量,多维随机向量 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 的意义据此推广. 前面几个例子中的 $X$ 都是一维随机变量,通常就简称随机变量。 ### 随机变量的研究 关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内容。这是因为,对于一个随机试验,我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量。当然,有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件。例如,在特定一群人中,年收入十万元以上的高收入者, 及年收入在 3000 元以下的低收入者,各自的比率如何,这看上去像是两个孤立的事件。可是,若我们引进一个随机变量的 $X:$ $X=$ 随机抽出一个人其年收人则 $X$ 是我们关心的随机变量. 上述两个事件可分别表为 $\{X\rangle$ $10000\}$ 和 $\{X<3000\}$. 这就看出: 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内. 也可以说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是一种动态的观点, 一如数学分析中的常量与变量的区分那样。变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念. 同样, 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念是随机变量.
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