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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
随机变量的定义
日期:
2023-12-27 07:02
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随机变量的定义
## 引言 许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系,但是我们可以通过映射让它与实数关联。 比如扔硬币,规定正面向上为1,反面向上为0,那么扔两次的结果就是: $\Omega=\{00,01,10,11\}$ 如果以$X$记正面向上的次数,那么样本空间就可以写成 $X(\omega)=\{0,1,2\}$通过简单的“映射”,我们把试验的结果转换为了实数轴$R$上的函数。 再如公交车每隔5分钟来一次,那么一个人到公交车站台等车的时间就是 $\Omega=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$ 可以直接把上面的等车时间映射为实数轴$R$上的函数 $X(\omega)=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$ 在上面这两种映射里,这仅是映射的一种方式,就像扔硬币,你也可以映射“扔两次结果一样”的记做1,”扔两次结果不一样”的记做0,都是可以的,这不重要,重要的是他都可以映射为定义域为实数的函数。 为什么要做映射?因为数学喜欢研究抽象的。 就像小时候学习,2个苹果加3个梨等于5个水果,我们抽象出 $2+3=5$, 这样再遇到 2个橘子加3个香蕉就知道等于5个水果。 下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301034e441c8.png) **定义1** 在随机试验E中, $\Omega$ 是相应的样本空间,如果对 $\Omega$ 中的每一个样本点 $\omega$ ,有唯一一个实数 $X(\omega)$ 与它对应,那么就把这个定义域为 $\Omega$ 的单值实值函数$X=X(\omega)$ 称为是 (一维) 随机变量. 随机变量一般用大写字母 $X, Y, Z$ 表示. 引进随机变量后,随机事件及其概率可以通过随机变量来表达. 01 如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值,则称其为离散型随机变量。 02 如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间(或某几个区间的并),则称其为连续型随机变量。 离散型随机变量:可能取值是可数有限个或可列无穷多个。 例如:火灾发生的次数、120电台电话被呼叫次数、筛子点数等 连续型随机变量:是指可能值可以连续的充满某个空间。 例如:灯泡的寿命、等车的时间等等。 **随机变量** 随机变量$X$是样本点的函数,这个函数的自变量是样本点,可以是数,也可以不是数,定义域是样本空间,而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数,也可以让多个样本点对应于一个实数。 检查三个产品, 则有 8 个样本点, 若记 $X$ 为 “三个产品中的不合格品数”, 则 $X$的取值与样本点之间有如下对应关系: ![图片](/uploads/2023-12/image_2023122793361ac.png) 这样 $X$ 取各种值就是如下的互不相容的事件: $$ \begin{array}{ll} \{X=0\}=\left\{\omega_1\right\}, & \{X=1\}=\left\{\omega_2, \omega_3, \omega_4\right\}, \\ \{X=2\}=\left\{\omega_5, \omega_6, \omega_7\right\}, & \{X=3\}=\left\{\omega_8\right\} . \end{array} $$ 若此种产品的不合格品率为 $p$, 则 $X$ 取各种值的概率可列表如下: ![图片](/uploads/2023-12/image_202312270e78231.png) 定义 定义在样本空间 $\Omega$ 上的实值函数 $X=X(\omega)$ 称为随机变量, 常用大写字母 $X, Y, Z$ 等表示随机变量, 其取值用小写字母 $x, y, z$ 等表示. 假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值, 则称其为离散随机变量. 假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间 $(a, b)$, 则称其为连续随机变量, 其中 $a$可以是 $-\infty, b$ 可以是 $\infty$. 这个定义表明: 随机变量 $X$ 是样本点 $\omega$ 的一个函数, 这个函数可以是不同样本点对应不同的实数, 也允许多个样本点对应同一个实数. 这个函数的自变量 (样本点) 可以是数,也可以不是数, 但因变量一定是实数. 与微积分中的变量不同, 概率论中的随机变量 $X$ 是一种“随机取值的变量且伴随一个分布”. 以离散随机变量为例, 我们不仅要知道 $X$ 可能取哪些值, 而且还要知道它取这些值的概率各是多少, 这就需要分布的概念. 有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志.
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