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概率论与数理统计
第六篇 统计量和抽样分布
x方分布
日期:
2023-10-01 11:28
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x方分布
定义 设 $X_1, \cdots, X_n$ 是独立同分布的随机变量,且都服从标准正 态分布 $N(0,1)$ , 则称随机变量 $Y \hat{=} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 所服从的分布为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布,记为 $Y \sim \chi^2(n)$. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301032f47c91.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_2023010368de35f.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103cc86bb6.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103fddbd37.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103a692553.png) 例1 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是取自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 求下列三个统计量的分布 (1) $X_1^2+X_2^2$; (2) $X_1^2$; (3) $Q=X_1^2+a\left(X_2+X_3\right)^2+b\left(X_4-X_5+X_6\right)^2$ 解 (1) 由样本的定义可知, $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 相互独立,且都服从 $N(0,1)$ , 所以根据 $\chi^2$ 分布的定义可知 $X_1^2+X_2^2 \sim \chi^2(2)$ ; (2)同上, $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ ; (3) $X_2+X_3 \sim N(0,2) \Rightarrow \frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$, $$ X_4-X_5+X_6 \sim N(0,3) \Rightarrow \frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1) \text {, } $$ 且 $X_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_2+X_3\right), \frac{1}{\sqrt{3}}\left(X_4-X_5+X_6\right)$ 相互独立, 再由 $\chi^2$ 分布的定义 $$ X_1^2+\left(\frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(3) . $$ 可得 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}$ ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103985f51c.png) 补例 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim \chi^2(n)$ 的一个样本, 定义 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ,试求 $E(\bar{X}), D(\bar{X})$. 解 由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故 $$ E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=n . $$ 由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故 $$ \begin{aligned} D(\bar{X}) & =D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \\ & =\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{1}{n} D(X)=2 . \end{aligned} $$
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