最后更新: 2023-10-01 11:28 查看: 169 次下载编辑本文科数网

x方分布

定义
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正 态分布 $N(0,1)$ ， 则称随机变量 $Y \hat{=} \sum_{i=1}^n X_i^2$
所服从的分布为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $Y \sim \chi^2(n)$.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301032f47c91.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010368de35f.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103cc86bb6.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103fddbd37.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103a692553.png)
例1
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是取自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， 求下列三个统计量的分布
(1) $X_1^2+X_2^2$;
(2) $X_1^2$;
(3) $Q=X_1^2+a\left(X_2+X_3\right)^2+b\left(X_4-X_5+X_6\right)^2$
解 (1) 由样本的定义可知， $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$ ， 所以根据 $\chi^2$ 分布的定义可知 $X_1^2+X_2^2 \sim \chi^2(2)$ ；
（2）同上， $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ ；
(3) $X_2+X_3 \sim N(0,2) \Rightarrow \frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$,

$$
X_4-X_5+X_6 \sim N(0,3) \Rightarrow \frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1) \text {, }
$$

且 $X_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_2+X_3\right), \frac{1}{\sqrt{3}}\left(X_4-X_5+X_6\right)$ 相互独立，
再由 $\chi^2$ 分布的定义

$$
X_1^2+\left(\frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(3) .
$$

可得 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103985f51c.png)
补例 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim \chi^2(n)$ 的一个样本，
定义 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，试求 $E(\bar{X}), D(\bar{X})$.
解 由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=n .
$$

由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
\begin{aligned}
D(\bar{X}) & =D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \\
& =\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{1}{n} D(X)=2 .
\end{aligned}

上一篇：次序统计量

下一篇： t分布

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程，点击顶部的编辑本文来完善本文，如果本文对您有用，也欢迎赞助我们

0 篇笔记写笔记

更多笔记