最后更新: 2026-01-03 10:12 查看: 454 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

卡方分布χ²★★★★★

> 假设车间生产了一批螺丝，你想检验这些产品质量情况，你随机抽查了一些螺丝，此时就可以使用统计抽样的四大分布是：正态分布、卡方分布、t分布和F分布，他们分别对应 Z检验、卡方检验、t检验和F检验。 如果你抽查的样本比较多(n>30)优先使用**Z检验**(对应[正态分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=532))，如果抽查样本比较少(n<20)则使用**t检验**(对应[t分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=568))，如果你想比较两个机床生产的螺丝质量差异则使用**F检验**(对应[F分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=569))。如果像分析螺丝质量和原材料质量的关系则使用**χ²卡方检验**(对应[卡方分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=567))

> χ²分布、t分布、F分布的主要用途，其实不是拿来用于自然现象的建模，而是用于假设检验用的。只有正态分布既可以进行建模又可以进行检验

### 引例1
  想象你在一个射击场，靶心是零点。你是一个神枪手，每次射击的着弹点都围绕靶心随机分布，但基本不会脱靶。
1.  **标准正态分布（Z）**：这就像你**单次射击**的着弹点位置。它可能偏左（负值）或偏右（正值），但大部分时间都在靶心附近。它的分布是对称的（像一口钟）。

2.  **卡方分布**：现在，我们不再关心着弹点是偏左还是偏右（正负号）。我们只关心你**打得“偏”了多少**。怎么衡量？我们用着弹点**到靶心距离的平方**（Z²）来衡量。
    为什么用平方？因为平方能把所有偏差（无论左右）都变成正数，并且放大了大偏差的影响（比如，偏差为3，平方后是9，比偏差为1的平方1大得多）。

3.  **自由度（k）**：现在，我们进行多轮射击。**自由度（k）就是你射击的次数**。
     比如，你射击了3次（k=3），分别记录了3个着弹点距离靶心的平方距离：$Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2$ 。
     然后把这三个平方距离**加起来**，得到一个总和：$Q=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$。

**这个总和 Q 服从的就是自由度为 3 的卡方分布（χ²(3)）**。
 
#### 结论1
从引例1我们大致能得到卡方分布图像的特点（结合比喻）
**形状不对称（向右偏）**：这很好理解。你打了3枪，总的偏差（Q）可能很小（三枪都接近靶心），但也可能因为某一枪脱靶很远，导致总偏差变得非常大。所以，图像有一个长长的“右尾巴”，表示虽然概率小，但总偏差出现很大值的可能性是存在的（见下图）。
**自由度越大，图像越“正”**：如果你打了10枪（k=10），根据“大数定律”，某一枪特别离谱的情况会被其他打得准的枪平均掉。总偏差Q的分布会变得更集中、更对称，慢慢趋近于正态分布。就像你投掷很多次硬币，正面比例会越来越接近50%。

![图片](/uploads/2026-01/4f9f9e.jpg){width=400px}
 
### 引例2
想象你在玩掷骰子的游戏，每掷一次就记录下来点数。如果你掷了很多次，比如几百甚至几千次，你可能会好奇：**我得到的这些点数分布，是否真的是公平的**？即每个点数出现的概率都是相同的？卡方分布就是用来回答这类问题的一个工具。**它能帮助我们检验观察到的数据与预期数据之间是否有显著差异**。例如你有一个骰子，掷了 600 次，想检验它是否是公平的。理论上，每个面出现的次数应该是 100 次，实际观察到的次数可能是 $[95,105,93,107,100,100]$ ，通过卡方检验可以判断这种偏差是否在可接受范围内，这被称作拟合优度检验。

#### 总结2 
从引例2可以看到卡方分布的作用，以**特定概率**分布为某种情况在进行数学建模时，事物长期结果较为稳定，能够清晰进行把握。但是期望与事实存在差异怎么办？偏差是正常的小幅度波动？还是建模错误？此时，利用卡方分布分析结果，排除可疑结果。【事实与期望不符合情况下使用卡方分布进行检验】

例1和例2本质都反映了一个重要公式

$$
{
\sum \dfrac{(\text { 观察值 }- \text { 预期值 })^2}{\text { 预期值 }}
}
$$

现在我们对上面公式进行抽象，改写为

$$
\boxed{
\chi_c^2=\sum \frac{\left(O_i-E_i\right)^2}{E_i}
}
$$

用于卡方检验的卡方统计量。 c：自由度。O：观测值。E：期望值。
这个等式是什么意思？为什么这个公式是卡方检验的检验统计量？

> **提示：检验统计量看起来类似于方差公式 $\sum\left(x_i-\mu\right)^2 / n$ 。**

卡方检验统计量基本上是观察值与期望值之间标准化的平方差之和。之所以说它是标准化的，是因为它将平方差除以预期值，就像任何典型的标准化一样。基本上，这个检验统计量可以告诉你观测值与预期值的偏差有多大。

## $\chi^2$卡方分布
**定义** 设 $X_1, \cdots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ ， 则称随机变量 
$Y = X_1^1+X_2^2+...+X_n^2=\sum_{i=1}^n X_i^2$
所服从的分布为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $Y \sim \chi^2(n)$.

可以使用引例1中打靶为例进行理解，根据大数定律，打靶的偏差服从正态分布，其平方和则服从卡方分布。

> **卡方分布是衡量实际观察到的结果 和 理论期望的结果之间总差距的一个标尺**

**卡方检验的核心思想**：如果这个总差距（经过某种计算后）服从或近似服从卡方分布，就说明差距很可能是由随机波动造成的。如果这个总差距大得离谱（落在了卡方分布那个很长的右尾巴极端区域），我们就认为“事情不对劲”，可能不是随机波动，而是真的有某种规律或关联。

你可以把卡方分布想象为 
> **一个专门用来衡量“意外”或“偏差”的尺子。当“意外”大到用这把尺子量都觉得不可思议时，我们就认为真的发生了一些不寻常的事，而不仅仅是随机运气**。

## 卡方分布的密度函数
$\chi^2(n)$ 分布的概率密度为

$$
f(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} y}, & y>0 \\
0, & y \leqslant 0
\end{array},\right.
$$

其中, $\Gamma(\cdot)$ 为 Gamma 函数, $f(y)$ 的图形如图 所示.
下图分别是当 $n=1,4,9$ 时的概率密度函数图形. 是偏峰的倒钟形.

![图片](/uploads/2025-02/219389.svg)
 
 
（1）$n=1$与$n=2$ 和后面$n=3,4,5...$的曲线完全不同。
（2）$n$越大，越接近正态分布。

自由度是指上式右端所包含的独立变量的个数

## 卡方分布的可加性

1.如果 $\chi_1^2 \sim \chi^2\left(n_1\right), \chi_2^2 \sim \chi^2\left(n_2\right)$ ，且它们相互独立，则有

$$
\chi_1^2+\chi_2^2 \sim \chi^2\left(n_1+n_2\right) .
$$

这一性质称为 $\chi^2$ 分布的**可加性**．

### 理解卡方分布的可加性
他的数学证明略，这里从实例上理解卡方可加性的意义。
假设你是一家全国性公司的质量总监，旗下有2家分公司生产产品，你要监测不同工厂生产零件的尺寸偏差。偏差用卡方分布来衡量（即标准化的偏差平方和）。
**华东工厂**：工厂质量经理随机抽取了 $ m = 5 $ 个零件进行检测。他计算了这5个零件尺寸的标准化偏差平方和（即每个零件的偏差除以标准尺寸后平方，再加起来），这个总和 $ X $ 服从 **自由度为5的卡方分布**，记作 $ X \sim \chi^2(5) $。  这个自由度5可以理解为：这份报告包含了基于**5个独立数据点**计算出的总偏差信息。

**华南工厂**：另一位经理也独立地随机抽取了 $ n = 3 $ 个零件进行检测。同样，他算出了3个零件的标准化偏差平方和 $ Y \sim \chi^2(3) $。
 两份报告是**独立**完成的，工厂、样本、测量都互不干扰。

**合并报告（可加性发生）**
 现在，你想看**整个公司**（华东+华南）的总偏差情况。一个很自然的做法是：把两份报告的总偏差加起来，即 $ Z = X + Y $。
  **可加性告诉我们**：这个新的总和 $ Z $ 服从 **自由度为 (5 + 3) = 8 的卡方分布**，即 $ Z \sim \chi^2(8) $。

为什么可以这样直接加？

这要从卡方分布的本质来理解。回忆一下：
  $ X \sim \chi^2(5) $ 的本质是：$ X = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 + Z_5^2 $ （5个独立的标准正态变量的平方和）。
  $ Y \sim \chi^2(3) $ 的本质是：$ Y = Z_6^2 + Z_7^2 + Z_8^2 $ （3个独立的标准正态变量的平方和）。
   由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立，意味着这8个标准正态变量 $ Z_1, Z_2, ..., Z_8 $ 全都是相互独立的。

因此，总和 $ Z = X + Y $ 其实就是：
$$
Z = (Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 + Z_5^2) + (Z_6^2 + Z_7^2 + Z_8^2) = Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_8^2
$$
根据定义，**8个独立标准正态变量的平方和，当然就服从自由度为8的卡方分布**。

所以，可加性的直观理解就是：把两份独立的“偏差平方和”报告合并，新报告的信息量（自由度）就是两份旧报告信息量（自由度）的简单相加。

## 卡方分布的数学期望与方差
 $ \chi^2(n) $ 的**期望是 $n$**，而**方差是 $2n$**。

最直观的推导（利用定义和性质）,这是最好理解、最常用的方法。

第1步：回忆卡方分布的定义
如果 $ Z_1, Z_2, \dots, Z_n $ 是相互独立的**标准正态分布**随机变量（即 $ Z_i \sim N(0,1) $），那么随机变量 $X$：
$$
X = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_n^2
$$
就服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作 $ X \sim \chi^2(n) $。

所以，求 $X$ 的期望和方差，本质上就是求这个平方和的期望和方差。

第2步：计算期望 $E[X]$

1.  **期望的线性性质**：和的期望等于期望的和。
    $$
    E[X] = E[Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_n^2] = E[Z_1^2] + E[Z_2^2] + \dots + E[Z_

其他版本
【概率论与数理统计】拟合优度检验【概率论与数理统计】卡方分布χ²-前世今生-Part5 【概率论与数理统计】单正态总体方差的假设检验(卡方检验)【高中数学】独立检验【概率论与数理统计】卡方分布χ²-前世今生-Part4 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-拟合度检验-Part2 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-独立检验-Part1 【概率论与数理统计】附录5：卡方分布表

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