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卡方分布

> 开发分布主要用于卡方检验，可以先记住结论，再来查看卡方分布，详见 [卡方检验](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=583)

### 引入
①假设你是一个初中中学的校长，有一天，你希望了解一下全校初一年级学生的平均身高，学校初一年级共10个班级，为了减少干扰，你随机找了三个初一班级的班主任，记做$X_1,X_2,X_3$，告诉他们，统计一下该班里学生的平均身高。
这3个年级每个班都有100人，班主任为了不干扰学生学习同时又能完成上面给的任务，因此，3个班主任随机从对应班级里找10名徐学生测量他们的身高：
$$
X_1=\{x|1.65,1.68,1.7,1.6,1.58,1.66,1.66,1.67,1.69,1.65 \}
$$

$$
X_2=\{x|1.75,1.72,1.54,1.60,1.66,1.66,1.66,1.67,1.68,1.65 \}
$$

$$
X_3=\{x|1.6,1.61,1.7,1.66,1.64,1.65,1.66,1.67,1.68,1.9 \}
$$

我们知道，学生的身高基本上是服从正态分布的，现在我们要做的是，怎么能通过现有的数据来推出初一学生的平均身高呢？毫无疑问，在推出全体的身高时，希望误差越小越小，为此，我们就需要研究一下$Y=X_1^2+X_2^2+X_3^2$ 是一个什么分布

②想象你在玩掷骰子的游戏，每掷一次就记录下来点数。如果你掷了很多次，比如几百甚至几千次，你可能会好奇：我得到的这些点数分布，是否真的是公平的？即每个点数出现的概率都是相同的？卡方分布就是用来回答这类问题的一个工具。它能帮助我们检验观察到的数据与预期数据之间是否有显著差异。例如你有一个骰子，掷了 600 次，想检验它是否是公平的。理论上，每个面出现的次数应该是 100 次，实际观察到的次数可能是 $[95,105,93,107,100,100]$ ，通过卡方检验可以判断这种偏差是否在可接受范围内，这被称作拟合优度检验。
再如想分析性别（男，女）与喜好颜色 （红，蓝）是否相关。通过收集数据，构建一个列联表，然后使用卡方检验来分析性别与颜色偏好是否独立。

> 这里为什么要使用$X^2$，这是因为，在上面引例里数据都是正的，但是比如测量物体长度，误差可正可负，为了防止正负抵消，所以使用平方进行分析。

> 在参数统计推断问题中，常需利用总体的样本构造出合适的统计量，统计量既然是样本的函数，那么它是一个随机变量，且有分布. 统计量的分布称为抽样分布. 当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的. 本节介绍来自正态总体的几个常用的统计量的分布

## 卡方分布的作用
以**特定概率**分布为某种情况在进行数学建模时，事物长期结果较为稳定，能够清晰进行把握。但是期望与事实存在差异怎么办？偏差是正常的小幅度波动？还是建模错误？此时，利用卡方分布分析结果，排除可疑结果。【事实与期望不符合情况下使用卡方分布进行检验】
 
比如：抽奖机，肯定都不陌生，现在一些商场超市门口都有放置。正常情况下出奖概率是一定的，基本商家收益。倘若突然某段时间内总是出奖，甚是反常，那么到底是某阶段是小概率事件还是有人进行操作了？抽奖机怎么了？针对这种现象或者类似这种现象问题则可以借助卡方进行检验，暂且不着急如何检验，还是补充一下基础知识，再逐步深入解决问题。【常规事件中出现非常规现象，如何检查问题所在的情况下使用卡方分布】

> 我们在高中数学里介绍过独立检验[详细请点击此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2504) ,其中的例题就使用了卡方检验，当时直接使用的是结论，并没给出证明。

## $\chi^2$卡方分布

### 定义
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正 态分布 $N(0,1)$ ， 则称随机变量 
$Y = X_1^1+X_2^2+...+X_n^2=\sum_{i=1}^n X_i^2$
所服从的分布为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $Y \sim \chi^2(n)$.

（1）$n=1$与$n=2$ 和后面$n=3,4,5...$的曲线完全不同。
（2）$n$越大，越接近正态分布。

自由度是指上式右端所包含的独立变量的个数

> $\chi^2$卡方分布里的二次方是一个**整体**，从定义可以看到他是$X^2$的和，为了保持“**量纲**”一致，所以用的是$\chi^2$，不能拆成$\chi * \chi$

### 密度函数
$\chi^2(n)$ 分布的概率密度为

$$
f(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} y}, & y>0 \\
0, & y \leqslant 0
\end{array},\right.
$$

其中, $\Gamma(\cdot)$ 为 Gamma 函数, $f(y)$ 的图形如图 所示.
下图分别是当 $n=1,4,9$ 时的概率密度函数图形. 是偏峰的倒钟形.

![图片](/uploads/2025-02/219389.svg)

### 自由度
卡方分布一个重要参数是自由度，也就是是由几个正态函数相加的。从上图可以看到，自由度为1,2和 3,4,5... 很不同，而且自由度越大，越接近正态分布。 比如我要调查“吸烟和肺癌”的关系，那么这个关系应该有四个关系：
①吸烟患肺癌
②吸烟不患肺癌
③不吸烟患肺癌
④不吸烟不患肺癌
此时，就可以使用自由度为4的卡方分布。
详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2504)

##  $\chi^2$ 分布的性质
由定义可知，若 $X_1, X_2$ 相互独立且都服从 $N(0,1)$ ，则
(1) $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ 
(2) $2 X_2^2 \sim \chi^2(1)$
(3) $X_1^2+X_2^2 \sim \chi^2(2)$.

###  $\chi^2$ 分布性质
(1)**$\chi^2$的数学期望与方差**。当 $Y \sim \chi^2(n)$ 时， $E(Y)=n, D(Y)=2 n$ ；
(2) **$\chi^2$ 分布的可加性** 设 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim \chi^2(m+n)$.

证明：(1): $E(Y)=n, D(Y)=2 n$

由 $\chi^2$ 分布定义知
$$
\begin{aligned}
E(Y) & =E\left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\sum_{i=1}^n E\left(X_i^2\right) \\
& =n\left(D\left(X_1\right)+E^2\left(X_1\right)\right)=n \\
D(Y) & =D\left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\sum_{i=1}^n D\left(X_i^2\right) \\
& =n\left(E\left(X_1^4\right)-E^2\left(X_1^2\right)\right)=n(3-1)=2 n
\end{aligned}
$$

(3): 设 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$ ， 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立
由 $\chi^2$ 分布定义知 $X=\sum_{i=1}^m X_i^2 ; Y=\sum_{i=1}^n Y_i^2 ，$ 其中
$X_1, \cdots, X_m, Y_1, \cdots, Y_n$ 都是相互独立的标准正态分布
则:

$$
X+Y=\sum_{i=1}^m X_i^2+\sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(m+n) .
$$

## $\chi^2$ 分布的分位数

设 $X \sim \chi^2(n)$ ，记它的 $\alpha$ 分位数为 $\chi_\alpha^2(n)$ ，即 $\chi_\alpha^2(n)$ 满足 $P\left(X \leq \chi_\alpha^2(n)\right)=\alpha$. 见图示.

分位数值可查表得到，比如 $\chi_{0.95}^2(4)=9.488$

![图片](/uploads/2024-10/d2dd7f.jpg)

下表给出概率值$p$与$\chi^2$关系表。通常用$p=0.05$作为阈值，即95%的可信度。

卡方分布的分位数和正态分布的分位数意思一样，详细点击[附录1：置信区间与上$\alpha$ 分位数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1641)

### 卡方分布表
 卡方分布重在运用，因此需要能掌握
 [附录4：卡方分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1495)
 下面给出的是简表。
 ![图片](/uploads/2024-10/86c3c8.jpg)

`例`  设 $X_1, \cdots, X_6$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本, 又设

$$
Y=\left(X_1+X_2+X_3\right)^2+\left(X_4+X_5+X_6\right)^2,
$$

试求常数 $C$, 使 $C Y$ 服从 $\chi^2$ 分布.
解 因为 $X_1+X_2+X_3 \sim N(0,3), \quad X_4+X_5+X_6 \sim N(0,3)$
所以

$$
\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0,1), \quad \frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1),
$$

且相互独立，于是

$$
\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(2)
$$

故应取 $C=\frac{1}{3}$, 则有 $\frac{1}{3} Y \sim \chi^2(2)$.

## 例题
`例`设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是取自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， 求下列三个统计量的分布
(1) $X_1^2+X_2^2$;
(2) $X_1^2$;
(3) $Q=X_1^2+a\left(X_2+X_3\right)^2+b\left(X_4-X_5+X_6\right)^2$
解:
(1) 由样本的定义可知， $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$ ， 所以根据 $\chi^2$ 分布的定义可知 $X_1^2+X_2^2 \sim \chi^2(2)$ ；
(2) 同上， $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ ；
(3) $X_2+X_3 \sim N(0,2) \Rightarrow \frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$,

$$
X_4-X_5+X_6 \sim N(0,3) \Rightarrow \frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1) \text {, }
$$

且 $X_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_2+X_3\right), \frac{1}{\sqrt{3}}\left(X_4-X_5+X_6\right)$ 相互独立，
再由 $\chi^2$ 分布的定义

$$
X_1^2+\left(\frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(3) .
$$

可得 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}$

`例`设 $X_1, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的样本，试证:
(1) $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$;
(2) $\frac{1}{n \sigma^2}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$

证明 (1) $\frac{X_i}{\sigma}, i=1, \cdots, n$ 独立同分布于 $N (0,1)$ ，由 $\chi^{\prime}$ 分布的定义， $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$ ，即 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$.

（2）易见， $\sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(0, n \sigma^2\right)$ ，即 $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n \sigma^2}} \sim N(0,1)$ ，由 $\chi^2$ 分布的定义， $\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n \sigma^2}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$ ，即 $\frac{1}{n \sigma^2}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$.

`例` 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim \chi^2(n)$ 的一个样本，
定义 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，试求 $E(\bar{X}), D(\bar{X})$.

解 由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=n .
$$

由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
\begin{aligned}
D(\bar{X}) & =D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \\
& =\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{1}{n} D(X)=2 .
\end{aligned}
$$

## 卡方分布和正态分布的区别

一个随机变量$Z$总是与一个概率分布有关。当一个随机变量经历数学变换后，基本的概率分布就不再保持不变了。考虑一个随机变量 $Z \sim N\left(\mu=0, \sigma^2=1\right)$ ，其遵循标准正态分布。现在，如果该随机变量被平方化（一种数学变换），那么 $Z^2$ 就不再是标准正态分布了。新转换的分布被称为自由度为 1 的卡方分布(Chi-Squared)分布。$Z$和 $Z^2$ 的分布如下所示。随机变量$Z$的平均值为 $E (Z)=0$ ，对于变换后的变量 $Z^2$ ，其均值为 $E\left(Z^2\right)=1$ 。
 ![图片](/uploads/2024-11/009c54.jpg){width=500px}
同样，随机变量Z的方差是 $D(Z)=1$ ，而转换后的随机变量 $Z^2$ 的方差是 $D\left(Z^2\right)=2$ 。除了平均值和方差，分布的形状也发生了变化。变换后的变量 $Z^2$ 的分布不再是对称的了。事实上，分布是向一边倾斜的。此外，随机变量 $Z^2$ 只能取正值，而随机变量Z也可以取负值（注意上图中两幅图的X轴）。由于新的变换只基于一个参数（Z），所以这个变换的自由度是1。

因此，转换后的随机变量 $Z^2$ 遵循卡方分布，有1个自由度。假设 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ 是遵循标准正态分布的独立随机变量， $Z_k \sim N(0,1)$ ，那么变换

$$
\chi_k^2=Z_1^2+Z_2^2+\ldots+Z_k^2
$$ 
是一个具有k个自由度的卡方分布

其他版本
【概率论与数理统计】附录5：卡方分布表【高中数学】独立检验

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