最后更新: 2024-11-20 21:59 查看: 390 次反馈刷题

点估计(矩估计法)

### 引入
**引例1**：矩估计法通俗解释：某个调查小组要统计当地人员的平均工资，为此，他们随机的找了当地100个工作人员，算出这100个人的平均工资为5000元，由此他们推出，当地人平均工资5000元。可以看到在这里，我们直接使用样本的均值来当做总体的期望值。

**引例2** ：对某型号的 20 辆汽车记录其每 5 L 汽油的行驶里程 (单位: km ), 观测数据如下:
$$
\begin{array} 
29.8 & 27.6 & 28.3 & 27.9 & 30.1 & 28.7 & 29.9 & 28.0 & 27.9 & 28.7 \\
28.4 & 27.2 & 29.5 & 28.5 & 28.0 & 30.0 & 29.1 & 29.8 & 29.6 & 26.9
\end{array}
$$

这是一个容量为 20 的样本观测值, 对应总体是该型号汽车每 5 L 汽油的行驶里程, 其分布形式尚不清楚, 可用矩法估计其均值、方差和中位数等. 本例中经计算有**样本**的均值方差和中位数

$$
\bar{x}=28.695, \quad s^2=0.9668, \quad m_{0.5}=28.6,
$$

由此给出**总体**均值、方差和中位数的估计分别为 $28.695,0.9668$ 和 28.6.
上面两个例子虽然不同，但是处理方法类似，就是我们**直接使用样本值来替代总体值**，这种方法被称为矩估计法。因此矩法估计的统计思想十分简单明确，众人都能接受，使用场合甚广.

>矩估计法是用样本矩来代替总体矩从而估计参数。

## 矩估计法

设总体 $X$ 的分布函数 $F\left(x ; \theta_1, \cdots, \theta_k\right)$ 中含有 $k$ 个未知参数 $\theta_1, \cdots, \theta_k$, 则:
(1) 设总体 $X$ 的前 $k$ 阶矩 $\mu_l=E\left(X^l\right) \quad(1 \leqslant l \leqslant k)$ 存在, 求出 $\mu_l=E\left(X^l\right) \quad(1 \leqslant l \leqslant k)$,一般都是这 $k$ 个未知参数的函数, 记为

$$
\mu_l=\mu_l\left(\theta_1, \cdots, \theta_k\right), \quad l=1,2, \cdots, k .
$$

(2) 设 $A_l(1 \leqslant l \leqslant k)$ 为样本 $k$ 阶矩, 用样本矩去替换总体矩, 即

令

$$
\left\{\begin{array}{c}
\mu_1\left(\theta_1, \cdots, \theta_k\right)=A_1 \\
\mu_2\left(\theta_1, \cdots, \theta_k\right)=A_2 \\
\vdots \\
\mu_l\left(\theta_1, \cdots, \theta_k\right)=A_l
\end{array}\right.
$$

(3) 求出上面方程组的解 $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \cdots, \hat{\theta}_k$, 称 $\hat{\theta}_l=\hat{\theta}_l\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为参数 $\theta_l(1 \leqslant l \leqslant k)$的矩估计量, $\hat{\theta}_l=\hat{\theta}_l\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为参数 $\theta_l(1 \leqslant l \leqslant k)$ 的矩估计值.

### 矩估计法的通俗解释
矩估计法的基本思想是用样本的一阶原点矩替代总体的一阶原点矩，用样本的二阶原点矩替代总体的二阶原点矩，（如果精度不够，再用三阶、四阶等），这就是矩估计法基本思想。

![图片](/uploads/2024-11/671294.jpg){width=500px}

## 例题

`例`设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right) ，\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的一个样本，
(1) 求 $\mu$ 的矩估计量;
(2) $\mu$ 已知， $\sigma^2$ 末知，求 $\sigma^2$ 的矩估计量；
(3) $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都末知，求 $\sigma^2$ 的矩估计量.

解：(1)我们已经知道在正态分布里，其数学期望就是$\mu$，而上面说过，矩估法里，总体的数学期望可用样本的数学期望代替，因此 $\mu=E(X)$ ，故 $\mu$ 的矩估计量 $\hat{\mu}=\bar{X}$ ；

(2) $\sigma^2=D(X)=E\left(X^2\right)-E^2(X)$, 又因为 $\mu=E(X)$ 已知， 故 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu^2$
(3) 因为 $\mu=E(X)$ 末知，故

$$
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-(\bar{X})^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2=S_n^2 .
$$

上面这个例子说明，正态分布里，总体的期望就是样本的期望，总体的方程就是样本的方差。

`例`设总体 $X \sim P(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0$ 未知， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的一个样本.
试求:
（1）$\lambda$ 的矩估计量;
（2）$ P(X=0)$ 的矩估计量.

解：(1) 因为 $E(X)=\lambda$ ，故 $\lambda$ 的矩估计量可定义为 $\hat{\lambda}=\bar{X}$.
又 $D(X)=\lambda=E\left(X^2\right)-(E X)^2$ ，故 $\lambda$ 的矩估计量又可写为 $\hat{\lambda}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\bar{X}^2$.
这说明矩估计可能不唯一，通常尽量采用较低阶的矩给出未知参数的估计。
(2) 因 $P(X=0)= e ^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!}= e ^{-\lambda}= e ^{-E(X)}$ 所以: $\hat{P}(X=0)= e ^{-\bar{X}}$.

## 关于矩估计量有下列结论:
定理 设总体 $X$ 的均值 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma^2 ，\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的一个样本，
则 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的矩估计量, $S_n^2$ 是 $\sigma^2$ 的矩估计量， $S_n$ 是 $\sigma$ 的矩估计量.

`例`设总体$X$的密度函数为
$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-(x-\theta)} & , x \geq \theta \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
,其中$\theta$ 未知，$(X_1,X_2,...X_n)$未取自该总体的一个样本，求$\theta$得矩估计量
解：因为 $E(X)=\int_\theta^{+\infty} x e^{-(x-\theta)} d x=\int_0^{+\infty}(t+\theta) e^{-t} d t=\int_0^{+\infty} t e^{-t} d t+\int_0^{+\infty} \theta e^{-t} d t=1+\theta$
所以 $\theta=E(X)-1$, 故 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=\bar{X}-1$.

### 求解总体未知参数 $\theta$ 的矩估计量的一般步骤:

1.设 $k$ 为一正整数，通常取 1 或 2 ，计算总体的 $k$ 阶原点矩 $\mu^k=E\left(X^k\right)=h(\theta)$ ；

2.解出 $\theta=h^{-1}\left(E\left(X^k\right)\right)=h^{-1}\left(\mu^k\right)$ ；

3.用样本的 $k$ 阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j^k$ 替换 $\mu^k$ ，得 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=h^{-1}\left(A_k\right)$.

`例`设 $X \sim U(-\theta, \theta),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的 一个样本，求 $\theta(\theta>0)$ 的矩估计量.
解 因 $E(X)=0$ ，而 $E\left(X^2\right)=D(X)=\frac{\theta^2}{3}$,
所以可由此解出 $\theta^2=3 E\left(X^2\right), \theta=\sqrt{3 E\left(X^2\right)}$,
故 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}=\sqrt{3 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$.

`例` 设
$$
X \sim f(x, \theta)= \begin{cases}\frac{2 x}{\theta^2} & 0<x<\theta \\ 0 & \text { 其余 }\end{cases}
$$

其中 $\theta>0$ 末知, 求 $\theta$ 的矩估计量.
解 由已知条件可求得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^\theta x \frac{2 x}{\theta^2} \mathrm{~d} x=\frac{2 \theta}{3}
$$

故， $\theta=\frac{3}{2} E(X)$. 所以 $\hat{\theta}=\frac{3}{2} \bar{X}$.

刷题

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