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2025-03-02 07:41
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(1) 群（Group） - **定义**：一个非空集合 \( G \)，在某个二元运算（通常写作乘法）下满足： - **封闭性**：对任意 \( a, b \in G \)，\( ab \in G \)； - **结合律**：\( (ab)c = a(bc) \)； - **单位元**：存在 \( e \in G \)，使得对任意 \( a \in G \)，有 \( ea = ae = a \)； - **逆元**：对任意 \( a \in G \)，存在 \( b \in G \)，使得 \( ab = ba = e \)。 - **例子**： - 整数加法群 \( (\mathbb{Z}, +) \) - 对称群 \( S_n \)（\( n \) 个元素的置换群） - 循环群 \( \mathbb{Z}_n \) - **重要定理**： - **拉格朗日定理**：有限群的子群阶数必整除群阶。 - **群的同构定理**：同构保持群的结构。
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