最后更新: 2023-10-08 19:17 查看: 314 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

拉格朗日 Lagrange

拉格朗日，法国著名数学家、物理学家，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
![图片](/uploads/2023-10/1a0c74.jpg){width=200px}

## 拉格朗日中值定理

在数学分析中，中值定理 (英语: Mean value theorem) 大致是讲，给定平面上固定两端点的可微曲线，则这曲线 在这两端点间至少有一点，在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。
更仔细点讲，假设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续且在开区间 $(a, b)$ 可微，则存在一点 $c, a<c<b$ ，使得

$$
f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .
$$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。拉格朗日中值的具体内容为：

令 $f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的一个连续函数，且在开区间 $(a, b)$ 内可导，其中 $a<b$ 。那么 在 $(a, b)$ 上存在某个 $c$ 使得

$$
f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理 的特殊情形。
这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $[a, b]$ 连续，且在开区间 $(a, b)$ 内对任意一点 $x$ ，极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$

下图显示了拉格朗日中值定理的几何意义

![图片](/uploads/2023-10/0a8fc3.svg)

## 拉格朗日乘数

微积分中最常见的问题之一是求一个函数的极大极小值 (极值)。但是很多时候找到极值函数 的显式表达是很困难的，特别是当函数有先决条件或约束时。拉格朗日乘数则提供了一个非常 便利方法来解决这类问题，而避开显式地引入约束和求解外部变量。
先看一个三维的例子：假设有函数： $f(x, y)$ ，要求其极值 (最大值/最小值)，且满足条件

$$
g(x, y)=c
$$

c为常数。对不同 $d_n$ 的值，不难想像出

$$
f(x, y)=d_n
$$

的等高线。而方程 $g$ 的可行集所构成的线正好是 $g(x, y)=c$ 。想像我们沿着 $g=c$ 的可行集 走; 因为大部分情况下 $f$ 的等高线和 $g$ 的可行集线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相 交。想像此时我们移动 $g=c$ 上的点，因为 $f$ 是连续的方程，我们因此能走到 $f(x, y)=d_n$ 更 高或更低的等高线上，也就是说 $d_n$ 可以变大或变小

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