最后更新: 2023-10-08 19:17 查看: 271 次反馈刷题

拉格朗日 Lagrange

拉格朗日，法国著名数学家、物理学家，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
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## 拉格朗日中值定理

在数学分析中，中值定理 (英语: Mean value theorem) 大致是讲，给定平面上固定两端点的可微曲线，则这曲线 在这两端点间至少有一点，在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。
更仔细点讲，假设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续且在开区间 $(a, b)$ 可微，则存在一点 $c, a<c<b$ ，使得

$$
f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .
$$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。拉格朗日中值的具体内容为：

令 $f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的一个连续函数，且在开区间 $(a, b)$ 内可导，其中 $a<b$ 。那么 在 $(a, b)$ 上存在某个 $c$ 使得

$$
f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理 的特殊情形。
这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $[a, b]$ 连续，且在开区间 $(a, b)$ 内对任意一点 $x$ ，极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$

下图显示了拉格朗日中值定理的几何意义

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## 拉格朗日乘数

微积分中最常见的问题之一是求一个函数的极大极小值 (极值)。但是很多时候找到极值函数 的显式表达是很困难的，特别是当函数有先决条件或约束时。拉格朗日乘数则提供了一个非常 便利方法来解决这类问题，而避开显式地引入约束和求解外部变量。
先看一个三维的例子：假设有函数： $f(x, y)$ ，要求其极值 (最大值/最小值)，且满足条件

$$
g(x, y)=c
$$

c为常数。对不同 $d_n$ 的值，不难想像出

$$
f(x, y)=d_n
$$

的等高线。而方程 $g$ 的可行集所构成的线正好是 $g(x, y)=c$ 。想像我们沿着 $g=c$ 的可行集 走; 因为大部分情况下 $f$ 的等高线和 $g$ 的可行集线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相 交。想像此时我们移动 $g=c$ 上的点，因为 $f$ 是连续的方程，我们因此能走到 $f(x, y)=d_n$ 更 高或更低的等高线上，也就是说 $d_n$ 可以变大或变小。只有当 $g(x, y)=c$ 和 $f(x, y)=d_n$ 相 切，也就是说，此时，我们正同时沿着 $g(x, y)=c$ 和 $f(x, y)=d_n$ 走。这种情况下，会出现 极值或鞍点。

气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约 束极值的存在。
用向量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着 $f$ 和 $g$ 的切线在某点上平行，同时也意味着两者的梯度向量有如下关系 (引入一个未知标 量 $\lambda)$ :

$$
\nabla f(x, y)=-\lambda \nabla(g(x, y)-c)
$$

即:

$$
\nabla[f(x, y)+\lambda(g(x, y)-c)]=\mathbf{0} .
$$

一旦求出 $\lambda$ 的值，将其套入下式，易求在无约束条件下的极值和对应的极值点。

$$
F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda(g(x, y)-c)
$$

新方程 $F(x, y, \lambda)$ 在达到极值时与 $f(x, y)$ 相等。因为 $F(x, y, \lambda)$ 达到极值时 $\nabla F(x, y, \lambda)=0$ ，而 $\frac{\partial F}{\partial \lambda}=g(x, y)-c$ ，也就是说 $g(x, y)-c$ 等于零。

图1：绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示梯度，和等高线的法线平行。
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## 拉格朗日插值法

对某个多项式函数，已知有给定的 $k+1$ 个取值点:

$$
\left(x_0, y_0\right), \ldots,\left(x_k, y_k\right)
$$

其中 $x_j$ 对应着自变量的位置，而 $y_j$ 对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的 $x$ 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:

$$
L(x):=\sum_{j=0}^k y_j \ell_j(x)
$$

其中每个 $\ell_j(x)$ 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为:

$$
\ell_j(x):=\prod_{i=0, i \neq j}^k \frac{x-x_i}{x_j-x_i}=\frac{\left(x-x_0\right)}{\left(x_j-x_0\right)} \cdots \frac{\left(x-x_{j-1}\right)}{\left(x_j-x_{j-1}\right)} \frac{\left(x-x_{j+1}\right)}{\left(x_j-x_{j+1}\right)} \cdots \frac{\left(x-x_k\right)}{\left(x_j-x_k\right)}
$$

拉格朗日基本多项式 $\ell_j(x)$ 的特点是在 $x_j$ 上取值为 1 ，在其它的点 $x_i, i \neq j$ 上取值为 0 。

已知平面上4个点（下图）：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：L（x）（黑色）穿过所有点。而每个基本多项式：y0ℓ0(x), y1ℓ1(x), y2ℓ2(x)以及y3ℓ3(x)各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x值上取零。
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## 拉格朗日方程

拉格朗日力学中，运动方程由 $n$ 个二阶微分方程 (拉格朗日方程) 给出:

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=Q_i ；
$$

其中 $Q_i$ 为 $q_i$ 所对应的非保守的广义力。
拉格朗日方程的地位等同于牛顿力学中的牛顿第二定律。但具有更普遍的意义。这个方式的解是经典解，在量子体系下，经典路径将不再是唯一 路径。

## 四平方和定理

说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
-1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式:

$$
\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(x^2+y^2+z^2+w^2\right)=(a x+b y+c z+d w)^2+(a y-b x+c w-d z)^2+(a z-b w-c x+d y)^2+(a w+b z-c y-d x)^2
$$

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数 $m$ 和 $n$ 能表示为 4 个整数的平方和，则其乘积 $m n$ 也能表示为 4 个整数的平方和。于是为证明原 命题只需证明每个素数可以表示成 4 个整数的平方和即可。
-1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程 $x^2+y^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p)$ 必有一组整数解x， $y$ 满足 $0 \leq x<\frac{p}{2} ， 0 \leq y<\frac{p}{2}$ (引理一)
至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

## 拉格朗日点

拉格朗日点 (Lagrangian point) 又称平动点 (libration points) 在天体力学中是限制性三体问题的五个 特殊解 (particular solution) 。就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其 中三个点为 $L_1 、 L_2 、 L_3 ， 1772$ 年数学家拉格朗日推算出另外两个点 (特解) 为 $L_4 、 L_5$ 。例如，两个天体环 绕运行，在空间中有五个位置可以放入第三个物体 (质量忽略不计)，使其与另两个天体的相对位置保持不 变。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡，使得第三个 物体与前两个物体相对静止。

绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点。 例如黄色圆型为太阳，蓝色点为地球，动画中为约略位置，详细位置与轨道需考虑质量比例和质心而稍异于动画位置。 在拉格朗日点之外的其他位置，引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道。
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