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莱布尼茨 Leibniz

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（德语：Gottfried Wilhelm (von) Leibniz， 德意志律师，历史上少见的通才，素有“十七世纪的亚里士多德”之美誉。
![图片](/uploads/2023-10/8c1d4a.jpg){width=200px}
莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发明了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。

## 微积分

莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。莱布尼茨于 1684 年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号 $d y$ 或 $d x$ 等。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号 $\int$ 。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整 的微分学。
然而1695年英国学者宣称：微积分的发明权属于牛顿；1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明人”。1 1712年英国皇家学会成立了一个委员会 调查此案，1713年初发布公告：“确认牛顿是微积分的第一发明人。”莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜，英国 学者长期固守于牛顿的流数术，只用牛顿的流数记号，不屑采用莱布尼茨更简明的记号，以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。
不过莱布尼茨对牛顿的评价非常的高，在1701年柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王弗里德里希·威廉一世询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨 说道:

```
从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半
```

牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”。但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。

因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。

牛顿从物理学出发，运用几何方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间，莱布尼茨在逝世前，起草了《微积分的历史和起源》一文（本文直到1846年才被发表），总结了自己创立微积分学的思路，表达自己独自完成微积分学说。

## 拓扑学

拓扑学最早称之“位相分析学”（analysis situs），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献，尚存争论。Mates引用Jacob Freudenthal 1954年一篇论文里的话说：

尽管莱布尼茨认为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的——当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变——他的仰慕者欧拉，在他著名的一篇论文（1736年发表，解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广）中，却是在“拓扑变形时点的位置不发生变化”的意义下使用“几何位置”这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们常常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的，因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当

## 二进制

莱布尼茨二进制算术体系，在1701以前已经形成，他于1701年初向巴黎皇家学会提交了一篇正式论文，即论述二进制的《数字科学新论》(Essay d'unne nouvelle Science des Nombres)，但被婉言谢绝。科学院院长封单内(De Fontenelle)提出的主要理由是看不出二进制有何用处。1703年，在补充了伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图后，他将全部研究成果发表在法国《皇家科学院院刊》上，[16]标题为“二进制算术阐释——仅仅使用数字0和1兼论其性能及伏羲数字的意义”，莱布尼茨根据二进制来理解先天圆图（先天六十四卦方圆图），说先天原图已经包含了他所发明的东西。二进制在莱布尼茨的时代并没有得到推广，直到计算机发明后，二进制才真正实现了其应用。

他曾断言：“二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。目前在德国图林根，著名的哥达王宫图书馆（Schlossbibliothek zu Gotha）内仍保存一份莱布尼茨的手稿，标题写着“1与0，一切数字的神奇渊源。”

## 数学符号

莱布尼兹 不仅仅发明了 $\frac{\mathrm{dx}}{ \mathrm{dy}}$, 莱布尼茨在微积分  方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统 。1675 年引入 $d x$ 表 示 $\mathrm{x}$ 的微分  ， $\int$ 表示积分， $d d v, d d d y$ 表示二阶、三阶微分  。
1695 年左右使用 $d^m \mathrm{n}$ 表示 $\mathrm{m}$ 阶微分。他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学 成功的关键之一。他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号a，常常对各种符号进行长期的比较 研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号Q。他创设的符号还有

此外还有对数符号、函数符号、行列式符号 等等。很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切 相关。他还引入了 “函数" (function)、“常量" (constant quantity)、变量" (variate)、“参变 量" (para-meter)等术语。在代数学方方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论 了负数、复数 9 的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的 数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论。在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭 复数的和是实数。

## 莱布尼茨公式

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

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