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庞加莱 Poincaré

亨利·庞加莱，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，生于法国南锡，卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。

![图片](/uploads/2023-10/b12333.jpg){width=200px}

## 庞加莱猜想

庞加莱猜想（法语：Conjecture de Poincaré），是几何拓扑学中的一条定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明。 其猜想内容为：

```
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
```

上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。因此说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。
如下图：没有边界的紧致二维曲面在拓扑上同胚于一个2-球面，如果每个环可以连续地紧到一个点。庞加莱猜想断言三维空间也是如此
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下图显示，图中环面上两个上色的圆均无法连续地收紧成一点。因此环面并不与球面同胚。

![图片](/uploads/2023-10/a112de.svg){width=300px}

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。 数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

## 三体问题

三体问题（英语：Three-body problem）是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。
例如太阳系中，考虑太阳、地球和月球的运动，它们彼此以万有引力相吸引，若假设三个星球都可设为质点，并且忽略其他星球的引力，太阳、地球和月球的运动即可以视为三体问题。

下图里，初始位置在斜三角形顶点，且初始速度均为零的三个相同物体的近似轨迹。按照动量守恒定律，质心仍然存在

![3.gif](/uploads/2023-10/ed5a70.gif)

三体问题可以用三个质量为 $m_i$ 的相互作用的物体的矢量位置 $\mathbf{r}_{\mathbf{i}}=\left(x_i, y_i, z_i\right)$ 的牛顿运动方程数学表 示:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{\mathbf{r}}_1=-G m_2 \frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|^3}-G m_3 \frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3\right|^3}, \\
\ddot{\mathbf{r}}_2=-G m_3 \frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3}{\left|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3\right|^3}-G m_1 \frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{\left|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\right|^3}, \\
\ddot{\mathbf{r}}_3=-G m_1 \frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1}{\left|\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1\right|^3}-G m_2 \frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2\right|^3} .
\end{array}\

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