最后更新: 2024-12-10 08:24 查看: 283 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

统计

## 平均数
平均数是表示一组数据集中趋势的量数。

①算术平均数
考虑一组数据 $x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
$$

②几何平均数

$$
\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
$$

③调和平均数

$$
\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}
$$

④平方平均数

$$
\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}
$$

⑤加权平均数
一般地, 若 $n$ 个数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的权分别 是 $w_1, w_2, \ldots, w_n$, 则

$$
\bar{x}=\frac{x_1 w_1+x_2 w_2+\cdots+x_n w_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}
$$

叫做这 $n$ 个数的加权平均数.

## 平均数不等式

调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数

最后举一个例子：一组样本是100、100、100、30、20、0、0，则平均数是50、中位数是30、众数是100，每一个统计量都不能反映全部特征，但每一个却也都能反映出一定程度的信息。

## 中位数
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,

①如果数据的个数是奇数, 则处于中间位置的数 就是这组数据的中位数。

②如果数据的个数是偶数, 则中间 两个数据的平均数 就是这组数据的中位数

## 众数
一组数据中出现次数 最多 的数据叫做这组数据的 众数

(1)一组数据中众数不一定只有一个;

(2)当一组数据中 出现异常值时, 其平均数往往不能正确反映这组数据 的集中趋势, 就应考虑用中位数或众数来分析

众数则反映的是局部特征——一组样本在哪里最密集

## 方差
设有 $n$ 个数据 $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ ， 各数据与它们的平均数 的差的 平方分别是 $\left(x_1-x\right)^2,\left(x_2-x\right)^2$, $\ldots,\left(x_n-x\right)^2$, 我们用它们的平均 数, 即用

$$
s^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-n \bar{x}^2\right]
$$

**方差的变形**

根据方法的定义：

$s^2=\frac{1}{n}\left(x_1{ }^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$.

可以推导出方法的另外一个变形公式：即

$$
\begin{aligned}
\because s^2 & =\frac{1}{n}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\bar{x}\right)^2\right] \\
\therefore s^2 & =\frac{1}{n}\left[x_1^2-2 x_1 \bar{x}+\bar{x}^2+x_2^2-2 x_2 \bar{x}+\bar{x}^2+\cdots+x_n^2-2 x_n \bar{x}+\bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) \bar{x}+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 n \cdot \frac{x_1+x_2+\cdots x_2}{n} \cdot \bar{x}+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 n \cdot \bar{x}^2+n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left[\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-n \bar{x}^2\right] \\
& =\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-\bar{x}^2
\end{aligned}
$$

在有些情况下下，利用计算方差会更简单。

$$
s^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-\bar{x}^2
$$

**意义**
方差越大 数据的波动越 大, 反之也成 量这组数据的波动大小, 并把它叫做这组数据的方差, 记作 $s^2$

## 例题

**例1**：选用恰当的公式，求下列各数据的方差。
(1) $-2,1,4$
(2) $-1,1,2$
(3) $79,81,82$

分析: 由于 (1) 中各数据及它们的平均数为较小整数, 因此选用公式:
$S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\bar{x}\right)^2\right]$
求方差较简便；

(2) 中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数
此选用公式: $S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1{ }^2+x_2{ }^2+\cdots+x_n{ }^2\right)-\overline{n x^2}\right]$
求方差较简便；

(3) 中数据较大且接近 80 ，因此取 $a=80$ 运用公式:
$S^2=\frac{1}{n}\left[\left(x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+\cdots+x_n^{\prime 2}\right)-n \overline{x^{\prime 2}}\right]$

求方差较简便

答案:
 (1) $S^2=6$ ；
(2) $S^2=1 \frac{5}{9}$;
(3)$S^2=1 \frac{5}{9}$

## 标准差
标准差（Standard Deviation） ，数学术语，是离均差平方的算术平均数（即：方差）的算术平方根，用σ表示。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。
标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

其定义为：

$$
\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}}
$$

也就是 标准差=$\sqrt{\text{方差}}$

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## 极差

一组数据中，其最大值与最小值之间的差叫做极差。

极差是最简单、最便于计算的一个量，但是他仅仅反映了数据的波动，容易受极端数据的影响。

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