最后更新: 2025-04-13 11:56 查看: 535 次反馈刷题

幂函数

## 幂函数总体概述

幂运算的本质来自乘法，例如
$ 2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$
而$2=2^1$,因此上式其实是
$ 2^5=2^1 \times 2^1 \times 2^1 \times 2^1 \times 2^1=2^{1+1+1+1+1}=32$

由此得到第一个基本公式

$$
\boxed{
a^s \cdot a^t=a^{s+t}
}
$$

而除法是乘法的逆运算，因此

$2^5 \div 2^3=2^{5-3}=2^2$, 其结果是指数相减。
特别的$2^5 \div 2^5=2^0=1$, 所以我们规定 $2^0=1$

一般地, $a^n$ 中的 $a$ 称为**底数**, $n$ 称为**指数**.

给定大于 1 的正整数 $n$ 和实数 $a$, 如果存在实数 $x$, 使得
$x^n=a,$
则 $x$ 称为 $a$ 的 **$n$次方根**.

如果令$ s=n, t=-n$ 则有
$ a^n \cdot a^{-n}=a^{m+n}=a^0=1$ 所以

$$
\boxed{
a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}
}
$$
上式为我们引入了分数指数幂。

### 分数指数幂

为了方便起见, 我们约定底数 $a>0$.  规定

$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

如果令$m=1$，则上式变为
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},$

特别的， 因为$a^m \div a^m=a^{m=m}=a^0=1$，所以我们规定
$$
\boxed{
a^0=1
}
$$

如果把$a$看成$x$,令$m=1,n=2$,
则 $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
令$m=1,n=3$ 则
则 $x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$

### 负分数指数幂

我们规定，

$$
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} .
$$

如果把$a$看成$x$,令$m=n=1$,
则 $x^{-1}=\frac{1}{x}$
令$m=2,n=1$ 则
$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

令$m=1,n=2$ 则
$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

### 无理数指数幂
幂运算可以进一步扩展到无理数，对于
$a^{\sqrt{2}}$ , $a^{\pi}$ 称为无理数指数幂。我们可以证明无理数指数幂同样支持幂运算法则。
他和有理数一样，不再细述。

## 幂运算的性质

幂运算支持如下的性质：
$$
\begin{array}{ll}
a^m \cdot a^n=a^{m+n} & a^m \div a^n=a^{m-n} \\
\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}=\left(a^n\right)^m & (a b)^n=a^n \cdot b^n \\
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} & \sqrt[n]{a^n}= \begin{cases}|a| & n \text { 为偶数 } \\
a & n \text { 为奇数 }\end{cases} \\
(\sqrt[n]{a})^n=a & a^{-p}=\frac{1}{a^p} \quad(a \neq 0) \\
a^0=1 \quad(a \neq 0) & \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}
\end{array}
$$

利用上面的性质，可以化简计算。

#### 例1

$$
\begin{aligned}
& 8^{\frac{3}{5}} \times 8^{\frac{2}{5}}=8^{\frac{3+2}{5}}=8^1=8, \\
& 8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^2=2^2=4, \\
& 3 \sqrt{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[6]{3}=3 \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}}=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=3^2=9, \\
& \left(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{4}}\right)^3=\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3\left(b^{\frac{1}{4}}\right)^3=a^2 b^{\frac{3}{4}}, \\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)=\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2=a-b, \\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)^2=a+2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}+b .
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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