最后更新: 2025-05-30 06:55 查看: 744 次反馈同步训练

幂函数

## 幂函数总体概述

> 幂函数和指数函数是比较相似的概念，幂函数是指 $y=x^a $， 指数函数是指 $y=a^x$ 可以看到，两者位置正好相反，很容易混淆。

幂运算的本质来自自身的连乘，例如
$ 2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$
而$2=2^1$,因此上式其实是
$ 2^5=2^1 \times 2^1 \times 2^1 \times 2^1 \times 2^1=2^{1+1+1+1+1}=32$

由此得到第一个基本公式

$$
\boxed{
a^s \cdot a^t=a^{s+t}
}
$$

而除法是乘法的逆运算，因此

$2^5 \div 2^3=2^{5-3}=2^2$, 其结果是指数相减。
特别的$2^5 \div 2^5=2^{5-5}=2^0=1$, 所以我们规定 $2^0=1$

一般地, $a^n$ 中的 $a$ 称为**底数**, $n$ 称为**指数**.

给定大于 1 的正整数 $n$ 和实数 $a$, 如果存在实数 $x$, 使得
$x^n=a,$
则 $x$ 称为 $a$ 的 **$n$次方根**.

如果令$ s=n, t=-n$ 则有
$ a^n \cdot a^{-n}=a^{m+n}=a^0=1$ 所以

$$
\boxed{
a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}
}
$$
上式为我们引入了分数指数幂。

## 分数指数幂

若 $a>0, m, n$ 是正整数, 我们规定:

$$
\boxed{
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}, \quad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}
}
$$

例如：

$$
5^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{5^3}, \quad 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{a^3}, \quad 4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}, \quad a^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^4}}
$$

如果令$m=1$，则上式变为
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},$

特别的， 因为$a^m \div a^m=a^{m-m}=a^0=1$，所以我们规定
$$
\boxed{
a^0=1
}
$$

如果把$a$看成$x$,令$m=1,n=2$,
则 $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
令$m=1,n=3$ 则
则 $x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$

### 推论
设 $a$ 是任意给定的正实数, $m, n, m_1, n_1$ 是正整数且 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 则 $a^{\frac{m}{n}}=$ $a^{\frac{m_1}{n_1}}$

证明: 由于 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 因而 $m n_1=m_1 n$, 故

$$
a^{m n_1}=a^{m_1 n}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n_1]{a^{m n_1}} \quad a^{\frac{m_1}{n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}=\sqrt[n_1 n_1]{a^{m_1 n}} \\
& \therefore \sqrt[n n_1]{a^{m n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1 n}}, \text { 即: }
\end{aligned}
$$

$$
a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m_1}{n_1}}
$$

这就解决了定义的合理性的问题. 不仅如此, 它还告诉我们, 可以改变有理数的分母以适应各种不同的需要。

> 注意：这里讨论的是$a$大于零的情况。如果$a$ 小于零，要根据实际情况处理。比如 $(2)^{\frac{2}{4}}=(2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$  是可以的，但  $(-2)^{\frac{2}{4}}$ 化为$(-2)^{\frac{1}{2}}$时却无意义，因此约分相当于收窄了函数的定义域。

## 负分数指数幂

我们规定，

$$
\boxed{
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} .
}
$$

如果把$a$看成$x$,令$m=n=1$,
则 $x^{-1}=\frac{1}{x}$
令$m=2,n=1$ 则
$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

令$m=1,n=2$ 则
$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

## 无理数指数幂
幂运算可以进一步扩展到无理数，对于$a^{\sqrt{2}}$ , $a^{\pi}$ 称为无理数指数幂。我们可以证明无理数指数幂同样支持幂运算法则。
他和有理数一样，不再细述。

## 幂运算的性质

幂运算支持如下的性质：
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
a^m \cdot a^n=a^{m+n} & a^m \div a^n=a^{m-n} \\
\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}=\left(a^n\right)^m & (a b)^n=a^n \cdot b^n \\
\left(\frac{a}{b}\right)^

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