最后更新: 2025-05-30 07:33 查看: 794 次反馈同步训练

幂函数的图像

## 幂函数的定义

一般地, 函数$y=x^a$ 称为**幂函数**, 其中 $a$ 为常数. 如果令$a=1,2,-1$ 则 函数 $y=x, y=x^2, y=\frac{1}{x}$ 都是幂函数.
分数幂函数可表示为 $y=x^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{x})^m$ 。

## 幂函数的图像
一般地，对于实数次幂函数 $y=x^\alpha(\alpha \neq 0)$  有如下两个重要性质
（1）当 $\alpha>0$ 时，它在 $[0,+\infty)$ 上有定义且递增，值域为 $[0,+\infty)$ ，函数图象过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 两点；
（2）当 $\alpha<0$ 时，它在 $(0,+\infty)$ 上有定义且递减，值域为 $(0,+\infty)$ ，函数图象过点 $(1,1)$ ，向上与 $y$ 轴正向无限接近，向右与 $x$ 轴正向无限接近．
下图是常见的幂函数图像

>**幂函数是一个庞大的函数家族，在高中阶段，作为考生，必须记住幂函数$x^3,x^2,x^1,x^{\frac{1}{2}},x^{-1}$ 的图像特点，记住他后，遇到其它的指数幂，就网上靠。**

![图片](/uploads/2025-05/4602e0.jpg)

五个基本幂函数图像性质总结：

![图片](/uploads/2025-05/db0381.jpg)

### 幂函数图像对比图
下图显示了在正实数域内，幂函数图像的变化趋势。
 ![图片](/uploads/2025-05/2943bf.jpg)

## 幂函数的图像
（1）所有的幕函数在区间 $(0,+\infty)$ 上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 $(1,1)$ 。
（2）如果 $\alpha>0$, 则幂函数的图象通过原点, 并且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数.
（3）如果 $\alpha<0$ ，则幂函数在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数，且在第一象限内：当 $x$ 从右边趋向于原点时，图象在 $y$ 轴右方且无限逼近 $y$ 轴；当 $x$无限增大时, 图象在 $x$ 轴上方且无限逼近 $x$ 轴.

对于一般的非零实数 $\alpha$ ，幂函数 $y=x^\alpha$ 只在 $x>0$ 时才能都有意义．对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在 $(0,+\infty)$ 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道。所以我们主要关心幂函数 $y=x^\alpha$ 在 $x>0$ 时的图象和性质。

`例` 比较下列各组中两个数的大小：
（1） $1.5^{1.4}, 1.6^{1.4}$ ；
（2） $1.5^{0.4}, 1.6^{0.4}$ ；
（3） $1.5^{-1.5}, 1.6^{-1.5}$ ．
解（1） $1.5^{1.4}, 1.6^{1.4}$ 可看作幂函数 $y=x^{1.4}$ 的两个函数值．该函数在 $[0$ ， $+\infty)$ 上递增，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{1.4}<1.6^{1.4}$ 。
（2） $1.5^{0.4}, 1.6^{0.4}$ 可看作幂函数 $y=x^{0.4}$ 的两个函数值．该函数在 $[0,+\infty)$ 上递增，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{0.4}<1.6^{0.4}$ ．
（3） $1.5^{-1.5}, 1.6^{-1.5}$ 可看作幂函数 $y=x^{-1.5}$ 的两个函数值．该函数在 $(0,+\infty)$上递减，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{-1.5}>1.6^{-1.5}$ 。

利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．

## 利用奇偶性记住图像

> 在记忆时，要充分理由函数的奇偶性、单调性进行记忆

**分数次幂（偶数）**
下图显示了 $y=2^x$ 与 $y={(\frac{1}{2})}^x =2^{-x}$ 图像趋势。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311058a7ea74.png){width=450px}

**分数次幂（奇数）**
下图显示了 $y=3^x$ 与 $y={(\frac{1}{3})}^x=3^{-x}$ 图像趋势。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311052652a3c.png){width=450px}
 
 
## 幂函数图像总结
下图给出了幂图像图像总结。
  
 ![图片](/uploads/2025-05/9b88a9.jpg)

`例` 若幂函数 $y=x^m$ 与 $y=x^n$ 在第一象限内的图象如图所示，则
![图片](/uploads/2025-05/c3745f.jpg){width=300px}
A．$-1<n<0<m<1$
B．$n<-1,0<m<1$
C．$-1<n<0$ ，$m>1$
D．$n<-1, m>1$

解：由图

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