最后更新: 2025-05-30 07:33 查看: 1155 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

幂函数的图像

## 幂函数的定义

一般地, 函数$y=x^a$ 称为**幂函数**, 其中 $a$ 为常数. 如果令$a=1,2,-1$ 则 函数 $y=x, y=x^2, y=\frac{1}{x}$ 都是幂函数.
分数幂函数可表示为 $y=x^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{x})^m$ 。

## 幂函数的图像
一般地，对于实数次幂函数 $y=x^\alpha(\alpha \neq 0)$  有如下两个重要性质
（1）当 $\alpha>0$ 时，它在 $[0,+\infty)$ 上有定义且递增，值域为 $[0,+\infty)$ ，函数图象过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 两点；
（2）当 $\alpha<0$ 时，它在 $(0,+\infty)$ 上有定义且递减，值域为 $(0,+\infty)$ ，函数图象过点 $(1,1)$ ，向上与 $y$ 轴正向无限接近，向右与 $x$ 轴正向无限接近．
下图是常见的幂函数图像

>**幂函数是一个庞大的函数家族，在高中阶段，作为考生，必须记住幂函数$x^3,x^2,x^1,x^{\frac{1}{2}},x^{-1}$ 的图像特点，记住他后，遇到其它的指数幂，就网上靠。**

![图片](/uploads/2025-05/4602e0.jpg)

五个基本幂函数图像性质总结：

![图片](/uploads/2025-05/db0381.jpg)

### 幂函数图像对比图
下图显示了在正实数域内，幂函数图像的变化趋势。
 ![图片](/uploads/2025-05/2943bf.jpg)

## 幂函数的图像
（1）所有的幕函数在区间 $(0,+\infty)$ 上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 $(1,1)$ 。
（2）如果 $\alpha>0$, 则幂函数的图象通过原点, 并且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数.
（3）如果 $\alpha<0$ ，则幂函数在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数，且在第一象限内：当 $x$ 从右边趋向于原点时，图象在 $y$ 轴右方且无限逼近 $y$ 轴；当 $x$无限增大时, 图象在 $x$ 轴上方且无限逼近 $x$ 轴.

对于一般的非零实数 $\alpha$ ，幂函数 $y=x^\alpha$ 只在 $x>0$ 时才能都有意义．对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在 $(0,+\infty)$ 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道。所以我们主要关心幂函数 $y=x^\alpha$ 在 $x>0$ 时的图象和性质。

`例` 比较下列各组中两个数的大小：
（1） $1.5^{1.4}, 1.6^{1.4}$ ；
（2） $1.5^

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：幂函数

下一篇：指数函数

本文对您是否有用？有用 (2) 无用 (0)