最后更新: 2025-04-13 11:26 查看: 606 次反馈刷题

幂函数的图像

## 幂函数的定义

一般地, 函数$y=x^a$ 称为**幂函数**, 其中 $a$ 为常数. 如果令$a=1,2,-1$ 则 函数 $y=x, y=x^2, y=\frac{1}{x}$ 都是幂函数.
幂函数可表示为 $y=x^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{x})^m$ 。

### 幂函数的图像
（1）所有的幕函数在区间 $(0,+\infty)$ 上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 $(1,1)$ 。
（2）如果 $\alpha>0$, 则幂函数的图象通过原点, 并且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数.
（3）如果 $\alpha<0$ ，则幂函数在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数，且在第一象限内：当 $x$ 从右边趋向于原点时，图象在 $y$ 轴右方且无限逼近 $y$ 轴；当 $x$无限增大时, 图象在 $x$ 轴上方且无限逼近 $x$ 轴.

## 幂函数
一般地，对于实数次幂函数 $y=x^\alpha(\alpha \neq 0)$ ：
（1）当 $\alpha>0$ 时，它在 $[0,+\infty)$ 上有定义且递增，值域为 $[0,+\infty)$ ，函数图象过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 两点；
（2）当 $\alpha<0$ 时，它在 $(0,+\infty)$ 上有定义且递减，值域为 $(0,+\infty)$ ，函数图象过点 $(1,1)$ ，向上与 $y$ 轴正向无限接近，向右与 $x$ 轴正向无限接近．
下图是常见的幂函数图像

>**作为考生，必须记住幂函数图像的特点 对于$R^+$ 定义域里， 曲线变化趋势**， 下图列出了$x^3,x^2,x^1,x^{\frac{1}{2}},x^{-1}$ 的图像特点，记住他后，遇到其它的指数幂，就网上靠。

![图片](/uploads/2025-04/70e367.jpg)

对于一般的非零实数 $\alpha$ ，幂函数 $y=x^\alpha$ 只在 $x>0$ 时才能都有意义．对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在 $(0,+\infty)$ 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道。所以我们主要关心幂函数 $y=x^\alpha$ 在 $x>0$ 时的图象和性质。

`例` 比较下列各组中两个数的大小：
（1） $1.5^{1.4}, 1.6^{1.4}$ ；
（2） $1.5^{0.4}, 1.6^{0.4}$ ；
（3） $1.5^{-1.5}, 1.6^{-1.5}$ ．
解（1） $1.5^{1.4}, 1.6^{1.4}$ 可看作幂函数 $y=x^{1.4}$ 的两个函数值．该函数在 $[0$ ， $+\infty)$ 上递增，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{1.4}<1.6^{1.4}$ 。
（2） $1.5^{0.4}, 1.6^{0.4}$ 可看作幂函数 $y=x^{0.4}$ 的两个函数值．该函数在 $[0,+\infty)$ 上递增，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{0.4}<1.6^{0.4}$ ．
（3） $1.5^{-1.5}, 1.6^{-1.5}$ 可看作幂函数 $y=x^{-1.5}$ 的两个函数值．该函数在 $(0,+\infty)$上递减，由于底数 $1.5<1.6$ ，所以 $1.5^{-1.5}>1.6^{-1.5}$ 。

由例 8 可以看到，利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．

## 整数次幂图像
下图给出了整数次幂图像，可以知道 偶次幂和奇次幂大致一样。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105421f1ee.png)

> 小提示：请注意$y=x^4$，参考下图，因为$y'=y''=0$ ,所以他的底部是“平底”得,也就是(0,0)不是拐点。

![图片](/uploads/2024-11/35a8f8.jpg){width=300px}

## 按象限划分幂函数图像
### 仅位于第一象限
(1) $y=x^{\frac{3}{2}}$
(2) $y=x^{\frac{1}{2}}$
(3) $y=x^{-\frac{1}{2}}$
 ![图片](/uploads/2024-09/51c2c1.jpg){width=450px}

记住这三类，类似的幂函数就都会画啦。
例如， $y=x^{\frac{15}{4}}, y=x^{\frac{3}{2}}$ 同属第(1)类，它们的指数都大于 1 ，且指数的分子为奇数, 分母为偶数, 那么这两个幂函数的图象相似

### 位于第一、三象限:
(4) $y=x^3$
(5) $y=x$
(6) $y=x^{\frac{1}{3}}$
(7) $y=x^{-1}$

这四类函数的图象如下图
 ![图片](/uploads/2024-09/20d5ab.jpg){width=450px}
 
 例如, $y=x^{\frac{3}{5}}, y=x^{\frac{1}{3}}$ 同属第(6)类,它们的指数都大于 0 小于 1 , 且指数的分子和分母都为奇数, 那么这两个幂函数的图象相似
 
 ### 位于第一、二象限:
(8) $y=x^2$
(9) $y=x^{\frac{2}{3}}$
(10) $y=x^0$
(11) $y=x^{-2}$

这四类函数的图象如下图
 ![图片](/uploads/2024-09/acbb24.jpg){width=450px}
 
 对于第(10)类幂函数，尤其要注意与 $y$ 轴的交点 $(0,1)$ 是要挖掉的，因为是不存在 0 的 0 次方的!
同样地，针对这四类幂函数，咱们也举个例子:
例如, $y=x^{-4}$ 与 $y=x^{-2}$ 同属第(11)类,
它们的指数都是小于-1的偶数，
那么这两个幂函数的图象类似。 
 
## 利用奇偶性记住图像
**分数次幂（偶数）**
下图显示了 $y=2^x$ 与 $y={(\frac{1}{2})}^x$ 图像趋势。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311058a7ea74.png){width=450px}

**分数次幂（奇数）**
下图显示了 $y=3^x$ 与 $y={(\frac{1}{3})}^x$ 图像趋势。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311052652a3c.png){width=450px}

## 幂函数的性质

当 $ {m} \in(0,1)$ 时, $\alpha$ 越小, $ {x}= {m}$ 与幂函数图象交点纵坐标越大;当 $ {m} \in(1,+\infty)$ 时, $\alpha$ 越大, $ {x}= {m}$ 与幂函数图象交点纵坐标越大。
 ![图片](/uploads/2024-09/5fcb41.jpg){width=450px}
  ![图片](/uploads/2024-09/6fef79.jpg){width=450px}
  有了这个规律，比大小就是比较容易的事情啦

`例`试比较 $m^{\frac{3}{2}}$ 和 $m^{\frac{15}{4}}$ 的大小
首先，我们画出下面两个函数的图象，它们都属于第(1)类函数

$$
y=x^{\frac{15}{4}}, y=x^{\frac{3}{2}}
$$

函数图象如下:
 ![图片](/uploads/2024-09/233440.jpg){width=450px}
 由图可以看到:
当 $m=0$ 或 1 时, $m^{\frac{3}{2}}=m^{\frac{15}{4}}$
当 $m \in(0,1)$ 时, $m^{\frac{3}{2}}>m^{\frac{15}{4}}$
当 $m \in(1,+\infty)$ 时， $m^{\frac{3}{2}}<m^{\frac{15}{4}}$

`例`画出下面函数的图象

$$
y=x^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{3}{2}}, x^{\frac{2}{3}}
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/d54ddc.jpg){width=450px}
 
 $m^{\frac{1}{2}}, m^{\frac{1}{3}}, m^{\frac{3}{2}}, m^{\frac{2}{3}}$ 到底谁大
有了上面这张图, 这个问题根本不是问题呵
在 $(-\infty, 0)$ 上， $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 没有定义，

$$
m^{\frac{2}{3}}>m^{\frac{1}{3}}
$$

当 $m=0$ 或 $m=1$ 时, $m^{\frac{1}{2}}=m^{\frac{1}{3}}=m^{\frac{3}{2}}=m^{\frac{2}{3}}$
在 $(0,1)$ 上, $m^{\frac{3}{2}}<m^{\frac{2}{3}}<m^{\frac{1}{2}}<m^{\frac{1}{3}}$
在 $(1,+\infty)$ 上, $m^{\frac{1}{3}}<m^{\frac{1}{2}}<m^{\frac{2}{3}}<m^{\frac{3}{2}}$

幂函数还有3个小结论：
1. 如果两个幂函数的图象有四个或四个以上的公共点，那么这两个幂函数相同；
2. 幂函数都过 $(1,1)$ 点，都过第一象限，都不过第四象限；
3. 当幂函数与 $x$ 轴、 $y$ 轴都无公共点时, 幂函数指数满足

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