最后更新: 2024-12-10 11:17 ● 参与者查看: 56 次纠错分享参与项目词条搜索

分数指数幂

我们再把指数幂的概念由整数指数幂推广到分数指数幂, 先来探索如何合理地定义 $a^{\frac{1}{4}}, a^{\frac{3}{4}}$ 的意义。

假设符号 $a^{\frac{1}{4}}, a^{\frac{3}{4}}$ 有意义，并且适合整数指数幂法则 $\left(a^m\right)^n=a^{m n}$ ，那么对于 $a^{\frac{1}{4}}, a^{\frac{3}{4}}$ 应用这个法则就得到 $\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^4=a$ 和 $\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^4=a^3$ 。这就是说，可以把 $a^{\frac{1}{4}}, a^{\frac{3}{4}}$ 看作方程 $x^4=a, x^4=a^3$ 的根。实际上这两个方程的唯一正实数解分别是 $\sqrt[4]{a}$ 和 $\sqrt[4]{a^8}$, 即有等式 $(\sqrt[4]{a})^4=a,\left(\sqrt[4]{a^3}\right)^4=a^3$ 成立. 因此，我们定义 $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a}, a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}$ 是合理的。

下面给出一般的定义：
定义 4
若 $a>0, m, n$ 是正整数, 我们规定:

$$
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}, \quad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}
$$

例如：

$$
5^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{5^3}, \quad 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{a^3}, \quad 4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}, \quad a^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^4}}
$$

有了定义 4 ，我们的指数就推广到了有理数了。
对于分数指数, 还需要讨论它的合理性问题. 这个问题的提法是这样的. 设有一个正有理数 $r$, 按照有理数的性质, 一定有两个正整数 $m, n$, 使得 $r=\frac{m}{n}$,那么按照定义 4 ,

$$
a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \quad(a>0)
$$

但另一方面, $r$ 还有其它正分数表示法, 例如, $\frac{2 m}{2 n}$ 就是另一个不同的表示法,设 $\frac{m_1}{n_1}$ 是 $r$ 的另一个任意正分数表示法，那么按定义 4 ，

$$
a^r=a^{\frac{m_1}{n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}} \quad(a>0)
$$

于是，对于同一个正有理数 $r, a^r$ 就有很多（实际上是无穷多）个形式上不同的表示式，而 $a^r$ 当然被规定为一个确定的数，所以必须证明 $a^r$ 的任何两个不同的表示式是相等的. 这就是下面的定理.

定理
设 $a$ 是任意给定的正实数, $m, n, m_1, n_1$ 是正整数且 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 则 $a^{\frac{m}{n}}=$ $a^{\frac{m_1}{n_1}}$

证明: 由于 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 因而 $m n_1=m_1 n$, 故

$$
a^{m n_1}=a^{m_1 n}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n_1]{a^{m n_1}} \quad a^{\frac{m_1}{n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}=\sqrt[n_1 n_1]{a^{m_1 n}} \\
& \therefore \sqrt[n n_1]{a^{m n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1 n}}, \text { 即: }
\end{aligned}
$$

$$
a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m_1}{n_1}}
$$

这就解决了定义的合理性的问题. 不仅如此, 它还告诉我们, 可以改变有理数的分母以适应各种不同的需要。

例如： $5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{2}{4}}=5^{\frac{3}{6}}=\cdots$
注意：分指数幂的定义不考虑底是负数的情形，因为这时分指数幂不再具有上述的重要性质。例如， $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-1}=-1$ ，同时 $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$ ，所以 $(-1)^{\frac{1}{3}} \neq(-1)^{\frac{2}{6}}$ 。又 $0^{-\frac{m}{n}}$ 没有意义, 因此分指数幂的底限制为正数.

有了分数指数幂的定义，上面讲过的三条性质在新的范围内就可叙述为：
性质
1. $a^r \cdot a^{\prime s}=a^{r+s} \quad(r, s$ 是有理数, $a>0)$;
2. $\left(a^r\right)^s=a^{r s} \quad(r, s$ 是有理数, $a>0)$;
3. $(a b)^r=a^r \cdot b^r \quad(r$ 是有理数, $a, b>0)$.

我们只对性质1作出证明，其它性质的证明留给同学自己去考虑。
性质1的证明：设 $a>0, r, s$ 为有理数，我们证明 $a^r a^s=a^{r+s}$
证明: 情形 1 若 $r, s$ 都是正有理数时, 则 $r=\frac{m}{n}, s=\frac{\ell}{k}$, 这里 $m, n, \ell, k$ 都是正整数.

$$
\begin{aligned}
a^r a^s & =a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{\ell}{k}}=\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[k]{a^{\ell}} \\
& =\sqrt[n k]{a^{m k}} \cdot \sqrt[n k]{a^{\ell n}} \\
& =\sqrt[n k]{a^{m k} \cdot a^{n \ell}}=\sqrt[n k]{a^{m k+n \ell}} \\
& =a^{\frac{m k+n \ell}{n k}}=a^{\frac{m k}{n k}+\frac{n \ell}{n k}} \\
& =a^{\frac{m}{n}+\frac{1}{k}}=a^{r+s}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad a^r a^s=a^{r+s}
$$

情形 2 若 $r<0, s<0$, 则 $r=-|r|, s=-|s|$.

$$
\begin{aligned}
a^r \cdot a^s & =a^{-|r|} a^{-|s|}=\frac{1}{a^{|r|}} \cdot \frac{1}{a^{|s|}} \\
& =\frac{1}{a^{|r|} a^{|s|}}=\frac{1}{a^{|r|+|s|}} \\
& =a^{-(|r|+|s|)}=a^{-|r|+(-|s|)} \\
& =a^{r+s}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad a^r a^s=a^{r+s}
$$

情形 3 若 $r>0, s<0$, 则 $|s|=\frac{\ell}{k}, r=\frac{m}{n}, m, n, \ell, k$ 都是正整数, 则

$$
\begin{aligned}
a^r a^s & =a^r \cdot a^{-|s|}=\frac{a^r}{a^{|s|}} \\
& =\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{\ell}{k}}}=\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[k]{a^{\ell}}} \\
& =\frac{\sqrt[n k]{a^{m k}}}{\sqrt[n k]{a^{n \ell}}}=\sqrt[n k]{\frac{a^{m k}}{a^{n \ell}}} \\
& =\sqrt[n k]{a^{m k-n \ell}}=a^{\frac{m k-n \ell}{n k}} \\
& =a^{\frac{m}{n}-\frac{\ell}{k}}=a^{r-|s|} \\
& =a^{r+s}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad a^r \cdot a^s=a^{r+s}
$$

（若 $r<0, s<0$ 则根据交换律也是成立的）
此外, $r, s$ 有一个为零的情形, 性质1显然成立, 故 $a^r a^s=a^{r+s}$ 对任意有理数 $r, s$ 成立.

例 1.14 求下面各分指数幂的值：
1. $18^{\frac{1}{2}}=\left(3^2 \cdot 2\right)^{\frac{1}{2}}=3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{2}$
2. $100^{-\frac{3}{2}}=\left(10^2\right)^{-\frac{3}{2}}=10^{-3}=\frac{1}{10^3}=0.001$
3. $\left(\frac{81}{625}\right)^{-\frac{3}{4}}=\left[\left(\frac{3}{5}\right)^4\right]^{-\frac{3}{4}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^3=\frac{125}{27}$

例1.15 用分指数幂作下面根式运算：
1. $\sqrt[4]{a^3} \div \sqrt[3]{a}=a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{5}{12}}=\sqrt[12]{a^5}$
2. $\sqrt{a^3 \cdot a \sqrt{a} \cdot a^6 \sqrt[3]{a}}=\left(a^3 \cdot a^{1 \frac{1}{2}} \cdot a^{6 \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(a^{10 \frac{5}{6}}\right)^{\frac{1}{2}}=a^{5 \frac{5}{12}}=a^5 \cdot \sqrt[12]{a^5}$

例1.16 化简下面算式：
1.

$$
\begin{aligned}
& \frac{5 x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{2}}}{\left(-\frac{1}{4} x^{-1} y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(-\frac{5}{6} x^{-\frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{6}}\right)} \\
& =24 x^{-\frac{2}{3}+1+\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=24 x^{\frac{2}{3}} y \\
& =24 y \sqrt[3]{x^2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \left(a^2 x+a x^{1.5}\right)\left(a^{1.5} x^{0.5}+a^{0.5} x\right)^{-1} \\
= & (a x)\left(a+x^{0.5}\right)\left[a^{0.5} x^{0.5}\left(a+x^{0.5}\right)\right]^{-1} \\
= & (a x)(a x)^{-0.5}\left(a+x^{0.5}\right)\left(a+x^{0.5}\right)^{-1} \\
= & (a x)^{0.5}\left(a+x^{0.5}\right)^0 \\
= & (a x)^{0.5}=\sqrt{a x}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \frac{m-n}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}}-\frac{m^{\frac{3}{4}}+n^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}} \\
= & \frac{\left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}}-\frac{\left(m^{\frac{1}{4}}\right)^3+\left(n^{\frac{1}{4}}\right)^3}{m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}} \\
= & m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}-\left[\left(\frac{1}{4}\right)^2-m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}}+\left(n^{\frac{1}{4}}\right)^2\right] \\
= & m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{m n}
\end{aligned}
$$

由例 1.15 看出, 有了分数指数, 根式就可转化为幂, 根式的运算转化为幂的运算，这就有可能简化计算工作，为以后的对数计算在理论上作了准备.

## 六、无理指数常
由于无理指数幂的概念要用到实数完备性或极限存在定理，我们这里不作详细介绍，只指出 $a^\alpha\left(a>0, \alpha\right.$ 是无理数），例如 $2^{\sqrt{2}}, 10^{\sqrt{8}}, 3^\pi$ 等等，仍有确定意义，即它仍代表一个确定的实数，并且也满足指数运算的三个法则：

$$
\begin{aligned}
a^\alpha \cdot a^\beta & =a^{\alpha+\beta} \\
\left(a^\alpha\right)^\beta & =a^{\alpha \beta} \\
(a b)^\alpha & =a^\alpha \cdot b^\alpha
\end{aligned}
$$

这里 $a, b$ 大于零; $\alpha, \beta$ 是无理数.
于是指数法则可以进一步推广，得到下面的普遍定理。
定理
指数运算法则 $a^\alpha \cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\left(a^\alpha\right)^\beta=a^{\alpha \beta},(a b)^\alpha=a^\alpha \cdot b^\alpha(a, b>0)$ 对于任何实数 $\alpha, \beta$ 成立.

在实际应用中，我们常用有理指数幂去近似地代替无理指数幂，例如 $\sqrt{2} \approx$ $1.414,10^{\sqrt{2}} \approx 10^{1.414}$. 因此, 在这里我们只要求同学知道上述结论就可以了.

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