最后更新: 2025-05-30 09:04 查看: 256 次反馈同步训练

高考研究：比较大小

## 基本性质运用
已知幂函数 $y=x^a$ 与 $y=x^b$ 的部分图象如图所示，直线 $x=m^2, x=m(0<m<1)$ 与 $y=x^a, y=x^b$ 的图象分别交于 $A, B, C, D$ 四点，且 $|A B|=|C D|$ ，则 $m^a$ $+m^b$ 等于
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A．$\frac{1}{2}$
B． 1
C．$\sqrt{2}$
D． 2

解：由题意，$|A B|=\left|\left(m^2\right)^a-\left(m^2\right)^b\right|, ~|C D|=\left|m^a-m^b\right|$ ，根据图象可知 $b>1>a>$ 0 ，当 $0<m<1$ 时，$\left(m^2\right)^a>\left(m^2\right)^b$ ，$m^a>m^b$ ，因为 $|A B|=|C D|$ ，所以 $m^{2 a}-$ $m^{2 b}=\left(m^a+m^b\right)\left(m^a-m^b\right)=m^a-m^b$ ，因为 $m^a-m^b>0$ ，所以 $m^a+m^b=1$ 。

## 直接法比较大小
设 $a=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}, b=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}, c=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{4}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是
A．$a>c>b$
B．$a>b>c$
C. $c>b>a$
D. $b>c>a$

解：因为函数 $y=\left(\frac{4}{3}\right) x$ 是增函数，
所以 $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}<\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}$ ，即 $a<b$ ，
又因为函数 $y=x^{\frac{3}{4}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
所以 $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}<\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{4}}$ ，
所以 $b<c$ ，故 $c>b>a$ ．

## 找中间值
已知 $a=\log _5 3, ~ b=2^{\frac{1}{2}}, ~ c=7^{-0.5}$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为

A．$a>b>c$
B．$a>c>b$
C．$b>a>c$
D．$c>b>a$
解：因为 $1=\log _5 5>\log _5 3>\log _5 \sqrt{5}=\log _5 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2}<a<1$ ，

$$
b=2^{\frac{1}{2}}>2^0=1,7^{-0.5}=\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{1}{2}}<\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}
$$

即 $0<c<\frac{1}{2}$ ，所以 $b>a>c$ ．

## 特殊值法
已知 $a>b>1,0<c<\frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是
A．$a^c<b^c$
B．$a b^c<b a^c$
C．$a \log _b c<b \log _a c$
D． $\log _a c<\log _b c$
解：取特殊值，令 $a=4, b=2, c=\frac{1}{4}$ ，
则 $a^c=4^{\frac{1}{4}}, b^c=2^{\frac{1}{4}}$ ，
$\therefore a^c>b^c$ ，故A错误；
$a b^c=4 \times 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{9}{4}}, b a^c=2 \times 4^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{2}}$,
$\therefore a b^c>b a^c$ ，故B错误；
$\log _a c=\log _4 \frac{1}{4}=-1, \quad \log _b c=\log _2 \frac{1}{4}=-2, \quad a \log _b c=-8, \quad b \log _a c=-2$,
$\therefore a \log _b c<b \log _a c, ~ \log _a c>\log _b c$ ，故C正确，D错误．

利用特殊值作＂中间量＂
在指数、对数中通常可优先选择＂$-1,0, ~ \frac{1}{2}, ~ 1$＂对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如 $\log _2 3$ ，可知 $1=\log _2 2<\log _2 3<\log _2 4=2$ ，进而可估计 $\log _2 3$ 是一个 $1 \sim 2$ 之间的小数，从而便于比较．

## 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
已知 $a=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}}, ~ b=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{5}}, ~ c=\log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{5}$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为

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