最后更新: 2025-04-13 11:33 查看: 161 次反馈刷题

分数幂与无理数幂举例

## 分数指数幂
若 $a>0, m, n$ 是正整数, 我们规定:

$$
\boxed{
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}, \quad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}
}
$$

例如：

$$
5^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{5^3}, \quad 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{a^3}, \quad 4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}, \quad a^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^4}}
$$

### 推论
设 $a$ 是任意给定的正实数, $m, n, m_1, n_1$ 是正整数且 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 则 $a^{\frac{m}{n}}=$ $a^{\frac{m_1}{n_1}}$

证明: 由于 $\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n_1}$, 因而 $m n_1=m_1 n$, 故

$$
a^{m n_1}=a^{m_1 n}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n_1]{a^{m n_1}} \quad a^{\frac{m_1}{n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}=\sqrt[n_1 n_1]{a^{m_1 n}} \\
& \therefore \sqrt[n n_1]{a^{m n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1 n}}, \text { 即: }
\end{aligned}
$$

$$
a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m_1}{n_1}}
$$

这就解决了定义的合理性的问题. 不仅如此, 它还告诉我们, 可以改变有理数的分母以适应各种不同的需要。

例如： $5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{2}{4}}=5^{\frac{3}{6}}=\cdots$
 
 `例`求下面各分指数幂的值：
1. $18^{\frac{1}{2}}=\left(3^2 \cdot 2\right)^{\frac{1}{2}}=3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{2}$
2. $100^{-\frac{3}{2}}=\left(10^2\right)^{-\frac{3}{2}}=10^{-3}=\frac{1}{10^3}=0.001$
3. $\left(\frac{81}{625}\right)^{-\frac{3}{4}}=\left[\left(\frac{3}{5}\right)^4\right]^{-\frac{3}{4}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^3=\frac{125}{27}$

`例` 用分指数幂作下面根式运算：
1. $\sqrt[4]{a^3} \div \sqrt[3]{a}=a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{5}{12}}=\sqrt[12]{a^5}$
2. $\sqrt{a^3 \cdot a \sqrt{a} \cdot a^6 \sqrt[3]{a}}=\left(a^3 \cdot a^{1 \frac{1}{2}} \cdot a^{6 \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(a^{10 \frac{5}{6}}\right)^{\frac{1}{2}}=a^{5 \frac{5}{12}}=a^5 \cdot \sqrt[12]{a^5}$

`例`化简下面算式：
1.

$$
\begin{aligned}
& \frac{5 x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{2}}}{\left(-\frac{1}{4} x^{-1} y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(-\frac{5}{6} x^{-\frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{6}}\right)} \\
& =24 x^{-\frac{2}{3}+1+\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=24 x^{\frac{2}{3}} y \\
& =24 y \sqrt[3]{x^2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \left(a^2 x+a x^{1.5}\right)\left(a^{1.5} x^{0.5}+a^{0.5} x\right)^{-1} \\
= & (a x)\left(a+x^{0.5}\right)\left[a^{0.5} x^{0.5}\left(a+x^{0.5}\right)\right]^{-1} \\
= & (a x)(a x)^{-0.5}\left(a+x^{0.5}\right)\left(a+x^{0.5}\right)^{-1} \\
= & (a x)^{0.5}\left(a+x^{0.5}\right)^0 \\
= & (a x)^{0.5}=\sqrt{a x}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \frac{m-n}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}}-\frac{m^{\frac{3}{4}}+n^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}} \\
= & \frac{\left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}}-\frac{\left(m^{\frac{1}{4}}\right)^3+\left(n^{\frac{1}{4}}\right)^3}{m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}} \\
= & m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}-\left[\left(\frac{1}{4}\right)^2-m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}}+\left(n^{\frac{1}{4}}\right)^2\right] \\
= & m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{m n}
\end{aligned}
$$

由上面可以看出, 有了分数指数, 根式就可转化为幂, 根式的运算转化为幂的运算，这就有可能简化计算工作，为以后的对数计算在理论上作了准备.

## 无理指数常
由于无理指数幂的概念要用到实数完备性或极限存在定理，我们这里不作详细介绍，只指出 $a^\alpha\left(a>0, \alpha\right.$ 是无理数），例如 $2^{\sqrt{2}}, 10^{\sqrt{8}}, 3^\pi$ 等等，仍有确定意义，即它仍代表一个确定的实数，并且也满足指数运算的三个法则：

$$
\begin{aligned}
a^\alpha \cdot a^\beta & =a^{\alpha+\beta} \\
\left(a^\alpha\right)^\beta & =a^{\alpha \beta} \\
(a b)^\alpha & =a^\alpha \cdot b^\alpha
\end{aligned}
$$

`例` 化简下列各式：
（1）$\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$ ；
（2）$(-2)^4 \cdot 4^{\pi-2}$ ．
解（1）$\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=3^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=3^2=9$ ；
（2）$(-2)^4 \cdot 4^{\pi-2}=4^2 \cdot 4^{\pi-2}=4^{2+\pi-2}=4^\pi$ ．

`例` 已知 $a>1, h>0$ ，对任意的实数 $u$ ，求证：
（1）$a^{u+2 h}-a^{u+h}>a^{u+h}-a^u$ ；
（2）$(1+h)^{100}>1+100 h$ ．
证明（1）因为 $a^{u+2 h}, a^{u+h}, a^u$ 都是正数，且 $\frac{a^{u+2 h}}{a^{u+h}}=\frac{a^{u+h}}{a^u}=a^h>1$ ，故 $a^{u+2 h}-a^{u+h}, a^{u+h}-a^u$ 也是正数．
又

$$
\frac{a^{u+2 h}-a^{u+h}}{a^{u+h}-a^u}=\frac{a^{u+h} \cdot a^h-a^u \cdot a^h}{a^{u+h}-a^u}=\frac{a^h\left(a^{u+h}-a^u\right)}{a^{u+h}-a^u}=a^h>1,
$$

即得

$$
a^{u+2 h}-a^{u+h}>a^{u+h}-a^u .
$$

（2）由于对正数 $A$ 和 $B$ 有 $(1+A)(1+B)>1+A+B$ ，故 $(1+h)^2>1+2 h,(1+h)^3>(1+2 h)(1+h)>1+3 h$,
从而

$$
(1+h)^{10}=\left[(1+h)^2(1+h)^3\right]^2>[(1+2 h)(1+3 h)]^2>(1+5 h)^2>1+10 h,
$$

两端 10 次方得

$$
(1+h)^{100}>(1+10 h)^{10}>1+100 h .
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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