最后更新: 2025-02-13 16:38 查看: 139 次反馈刷题

指数方程与对数方程

指数中含有末知数的方程叫做指数方程. 下面我们介绍几种常见的指数方程及其解法。

## 一、可化为 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的指数方程
对于这类方程, 我们根据指数函数的单调性得到 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$ 成立的必要充分条件是 $f(x)=g(x)$ 。因此，指数方程 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$ 在 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 的条件下就可以转化为代数方程 $f(x)=g(x)$ 来解.

`例`解方程 $5^{-x} \cdot 50^x=\frac{1}{1000\left(10^{2 x-1}\right)^{-3}}$
解: 原方程化简为 $\left(5^{-1} \cdot 50\right)^x=\frac{10^{6 x-3}}{10^3}$, 即:

$$
10^x=10^{6 x-6}
$$

由于底数 $a=10>0$ 且 $\neq 1$, 得到

$$
x=5 x-6 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{6}{5}
$$

所以原方程的解集是 $\left\{\frac{6}{5}\right\}$.

例 10.4 解方程 $17^{3 x^2+x-2}=1$
解: $\because \quad 1=17^0$, 原方程可写成

$$
17^{3 x^2+x-2}=17^0
$$

于是根据指数函数的单调性, 得到

$$
3 x^2+x-2=0
$$

由此

$$
x_1=\frac{2}{3}, \quad x_2=-1
$$

所以原方程的解集是 $\left\{-1, \frac{2}{3}\right\}$.

## 二、可化为形如 $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ 的指数方程
这里 $(a>0, b>0, a \neq 1, b \neq 1)$, 一般用两边取对数的方法来解.
例 10.5 解方程 $17^x=300$

解: 两边取常用对数, 得到

$$
\begin{aligned}
x \lg 17 & =\lg 300 \\
x & =\frac{\lg 300}{\lg 17} \approx \frac{2.4771}{1.2304} \approx 2.0132
\end{aligned}
$$

例 10.6 解方程 $5^{2 x}-7 x-35 \cdot 5^{2 x}+35 \cdot 7^x=0$
解: 原方程化简为 $7^x(35-1)=5^{2 x}(35-1)$
两边除以 34 , 得到: $5^{2 x}=7^x$
两边取常用对数

$$
2 x \lg 5=x \lg 7
$$

$$
\begin{array}{r}
x(2 \lg 5-\lg 7)=0 \\
\because \quad 2 \lg 5-\lg 7=\lg 25-\lg 7 \neq 0, \quad \therefore \quad x=0
\end{array}
$$

因此，原方程的解集是 $\{0\}$.

## 三、可化为一元二次方程的指数方程
例10.7 解方程 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4$
解: 注意到 $\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1$, 原方程的两边乘以 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x$,得到

$$
(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2 x}+1=4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x
$$

即 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2 x}-4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+1=0$
$\therefore(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2+\sqrt{3}$ 或 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2-\sqrt{3}$
即:

$$
(2-\sqrt{3})^{\frac{x}{2}}=(2-\sqrt{3})^{-1} \text { 或 } \quad(2-\sqrt{3})^{\frac{x}{2}}=2-\sqrt{3}
$$

$\therefore x=-2$ 或 $x=2$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{-2,2\}$.

未知数前面有对数符号的方程称为对数方程. 解对数方程一般常用的方法是根据对数定义直接把对数式的等式写成指数形式的等式。 也有时根据对数函数的单调性把对数方程化为代数方程来解。但是必须注意在解对数方程之前，应该先确定使方程中的对数都有意义的定义域，由此便确定了方程的根的上、下界. 在求得对数方程之解后, 应该舍去在根的上、下界之外的增根, 换言之,把那些使真数或底数为非正数或使底数等于 1 的根舍去，下面介绍几种常见的对数方程。

## 四、形如 $\log _{f(x)} g(x)=c \quad$ （其中 $c$ 是常数）的对数方程
可以根据对数定义将它化为指数形式的等式去解.
例10.8 解方程 $\log _{x-5}\left(3 x^2-16 x+29\right)=2$
解：方程中的对数有意义必须

$$
\left\{\begin{array}{l}
x>5 \quad \text { 且 } \quad x-5 \neq 1 \\
13 x^2-16 x+29>0
\end{array}\right.
$$

根据对数定义得到

$$
3 x^2-16 x+29=(x-5)^2
$$

解得: $x_1=1, \quad x_2=2$.
由于 1 和 2 都小于 5 , 所以原方程没有解, 即原方程的解集是空集.
例10.9 解方程 $\log _3[3+2 \lg (1+x)]=0$
解：根据对数定义得到 $3+2 \lg (1+x)=1$ ，即：

$$
\lg (1+x)=-1
$$

再由对数定义有

$$
\begin{aligned}
1+x & =10^{-1} \\
x & =-0.9
\end{aligned}
$$

经验算可知原方程的解集是 $\{-0.9\}$.

## 五、可以化成形如 $\log _a f(x)=\log _a g(x)$ 的对数方程由对数函数的单调性知道，上面方程成立的充分必要条件是

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x)>0 \\
g(x)>0 \\
f(x)=g(x)
\end{array}\right.
$$

因此对数方程可化为代数方程和不等式来解.
例 10.10 解方程 $\lg x+\lg \left(x^2-4\right)=\lg 3+\lg (x+2)$
解：方程中的对数有意义，必须

$$
\left\{\begin{array}{l}
x>0 \\
x^2-4>0 \\
x+2>0
\end{array} \quad \Rightarrow \quad x>2\right.
$$

原方程化为 $\lg x\left(x^2-4\right)=\lg 3(x+2)$, 由此得到

$$
x\left(x^2-4\right)=3(x+2)
$$

即: $(x-2)\left(x^2-2 x-3\right)=0$, 解得:
$$
x_1=2, \quad x_2=-1, \quad x_3=3
$$

其中只有 $x_3=3>2$, 所以原方程的解集是 $\{3\}$.
根据指数函数与对数函数的单调性也可以解相应的一些不等式. 由于作对数变形时，也有可能把原来数的定义域缩小了，这时就会丢掉解，因此，作对数

变形时，应该避免这种情形发生。例如，解 $\lg x=1$ ，如果利用等式： $\lg x^2=2 \lg x$ ，把原方程变形为 $2 \lg x=1$ ，这时由这个方程只能解出 $x=\sqrt{10}$ ，丢失了原方程的一个根 $-\sqrt{10}$.

例10.11 解不等式 $\log _{\frac{1}{3}}\left[\log _4\left(x^2-5\right)\right]>0$
解: 原不等式等价于 $0<\log _4\left(x^2-5\right)<1$, 由此 $1<x^2-5<4$, 即:

$$
6<x^2<9
$$

$\therefore \quad \sqrt{6}<|x|<3$ 从而:

$$
\sqrt{6}<x<3 \text { 或 }-3<x<-\sqrt{6}
$$

例 10.12 解 $\log _a x>6 \log _x a-1, \quad(0<a<1)$

解：原不等式可写成

$$
\log _a x>\frac{6}{\log _a x}-1
$$

分两种情形来解：
1. 设 $0<x<1$, 则 $\log _a x>0,(0<a<1)$.

由 (10.7) 得 $\log _a^2 x+\log _a x-6>0$, 由此得:

$$
\log _a x<-3
$$

或

$$
\log _a x>2
$$

由 (10.8) 得 $x>\frac{1}{a^3}>1$, 这与前设 $0<x<1$ 矛盾. 所以 (10.8) 无解.
由 (10.9) 得 $0<x<a^2<1$, 因此由 (10.7) 得: $0<x<a^2$
2. 设 $x>1$, 则 $\log _a x<0,(0<a<1)$.

由 (10.7) 得 $\log _a^2 x+\log _a x-6<0$, 由此得:

$$
\begin{aligned}
& -3<\log _a x<2 \\
& \because 0<a<1, \quad \therefore \quad a^2<1<x<a^{-3}
\end{aligned}
$$

因此, 由 (10.7) 可得, $1<x<\frac{1}{a^3}$.
$\therefore \quad$ 原不等式的解集是 $\left\{x \mid 0<x<a^2\right\} \cup\left\{x \left\lvert\, 1<x<\frac{1}{a^3}\right.\right\}$

例10.13 解不等式 $\frac{1}{\log _2 x}-\frac{1}{\log _2 x-1}<1$
解: 原不等式可化简为 $\frac{1+\log _2 x\left(\log _2 x-1\right)}{\log _2 x\left(\log _2 x-1\right)}>0$, 即:

$$
\frac{\left(\log _2 x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{\log _2 x\left(\log _2 x-1\right)}>0
$$

由此得: $\log _2 x\left(\log _2 x-1\right)>0$, 因此:

$$
\log _2 x<0 \text { 或 } \log _2 x>1
$$

即: $0<x<1$ 或 $x>2$ 。
由此原不等式的解集是 $\{x \mid 0<x<1\} \cup\{x \mid x>2\}$.
例10.14 求函数 $f(x)=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}} \frac{x}{x^2-1}}$ 的定义域.
解：
函数 $f$ 有意义 $\Longleftrightarrow \log _{\frac{1}{2}} \frac{x}{x^2-1}$ 有意义 $\Longleftrightarrow \log _{\frac{1}{2}} \frac{x}{x^2-1} \geq 0$

$$
\begin{aligned}
& \Longleftrightarrow 0<\frac{x}{x^2-1} \leq 1 \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{x^2-1}>0 \\
\frac{x^2-x-1}{x^2-1} \geq 0
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
-1<x<0 \text { 或 } x>1 \\
x<-1 \text { 或 } \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<1 \text { 或 } x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ - 1 < x < 0 } \\
{ \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } < x < 1 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x>1 \\
x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{array}\right.\right. \\
& \Longleftrightarrow \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<1 \text { 或 } x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
$$
故函数 $f$ 的定义域为

$$
\left\{x \left\lvert\, \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<1\right.\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right.\right\}
$$

例10.15 解方程 $\log _{\sin 3 x}(\cos x-\cos 2 x)=1$

解：要使方程中的对数有意义， $x$ 必须满足条件：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin 3 x \text { 且 } \sin 3 x \neq 1 \\
\cos x-\cos 2 x>0
\end{array}\right.
$$

由原方程得 $\cos x-\cos 2 x=\sin 3 x$, 即:

$$
\sin \frac{3 x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}\right)=0
$$

由此得：

$$
\sin \frac{3 x}{2}=0 \text { 或 } \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}=0
$$

因为 $\sin \frac{3 x}{2}=0$ 的解, 根据 $\sin 3 x=2 \sin \frac{3 x}{2} \cos \frac{3 x}{2}$, 知道一定也使 $\sin 3 x=0$成立, 而这与 $x$ 满足的条件: $\sin 3 x>0$ 不合, 因此, 方程 $\sin \frac{3 x}{2}=0$ 的解应该舍去。

由 $\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}=0$, 得：

$$
\sin \frac{x}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{3 x}{2}\right)
$$

根据两角正弦相等条件，有

$$
\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{3 x}{2}+2 k \pi \quad \text { 或 } \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{3 x}{2}+2 k \pi
$$

即:

$$
x=\frac{\pi}{4}+k \pi
$$

或

$$
x=-\frac{\pi}{2}-2 k \pi
$$

在单位圆上, 分别作出 (10.11) 中和 (10.12) 中的诸角的终边, 如图 10.5.显然 (10.11) 又可写成

$$
x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi
$$

和

$$
x=\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi
$$

再由 (10.12), (10.13), (10.14) 容易看出角 $3 x$ 与角 $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ 和 $-\frac{\pi}{4}$ 有相同的终边, 所以若将式 (10.12) 和式 (10.14) 代人 $\sin 3 x$ 中, 便得到

$$
\begin{aligned}
& \sin 3\left(-\frac{\pi}{2}-2 k \pi\right)=\sin \left(-\frac{3 \pi}{2}\right)=-\sin \frac{3 \pi}{2}=1 \\
& \sin 3\left(\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi\right)=\sin \frac{15 \pi}{4}=\sin \left(4 \pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-10/9692bd.jpg)
因此这两组解是增解, 应该舍去, 经检验知 $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ 满足不等式组, 所以方程的解集是 $\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right., \quad k \in Z \right\}$

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