最后更新: 2025-02-13 16:38 查看: 359 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

指数方程与对数方程

指数中含有末知数的方程叫做指数方程. 下面我们介绍几种常见的指数方程及其解法。

## 一、可化为 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的指数方程
对于这类方程, 我们根据指数函数的单调性得到 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$ 成立的必要充分条件是 $f(x)=g(x)$ 。因此，指数方程 $\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$ 在 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 的条件下就可以转化为代数方程 $f(x)=g(x)$ 来解.

`例`解方程 $5^{-x} \cdot 50^x=\frac{1}{1000\left(10^{2 x-1}\right)^{-3}}$
解: 原方程化简为 $\left(5^{-1} \cdot 50\right)^x=\frac{10^{6 x-3}}{10^3}$, 即:

$$
10^x=10^{6 x-6}
$$

由于底数 $a=10>0$ 且 $\neq 1$, 得到

$$
x=5 x-6 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{6}{5}
$$

所以原方程的解集是 $\left\{\frac{6}{5}\right\}$.

例 10.4 解方程 $17^{3 x^2+x-2}=1$
解: $\because \quad 1=17^0$, 原方程可写成

$$
17^{3 x^2+x-2}=17^0
$$

于是根据指数函数的单调性, 得到

$$
3 x^2+x-2=0
$$

由此

$$
x_1=\frac{2}{3}, \quad x_2=-1
$$

所以原方程的解集是 $\left\{-1, \frac{2}{3}\right\}$.

## 二、可化为形如 $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ 的指数方程
这里 $(a>0, b>0, a \neq 1, b \neq 1)$, 一般用两边取对数的方法来解.
例 10.5 解方程 $17^x=300$

解: 两边取常用对数, 得到

$$
\begin{aligned}
x \lg 17 & =\lg 300 \\
x & =\frac{\lg 300}{\lg 17} \approx \frac{2.4771}{1.2304} \approx 2.0132
\end{aligned}
$$

例 10.6 解方程 $5^{2 x}-7 x-35 \cdot 5^{2 x}+35 \cdot 7^x=0$
解: 原方程化简为 $7^x(35-1)=5^{2 x}(35-1)$
两边除以 34 , 得到: $5^{2 x}=7^x$
两边取常用对数

$$
2 x \lg 5=x \lg 7
$$

$$
\begin{array}{r}
x(2 \lg 5-\lg 7)=0 \\
\because \quad 2 \lg 5-\lg 7=\lg 25-\lg 7 \neq 0, \quad \therefore \quad x=0
\end{array}
$$

因此，原方程的解集是 $\{0\}$.

## 三、可化为一元二次方程的指数方程
例10.7 解方程 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4$
解: 注意到 $\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1$, 原方程的两边乘以 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x$,得到

$$
(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2 x}+1=4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x
$$

即 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2 x}-4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+1=0$
$\therefore(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2+\sqrt{3}$ 或 $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2-\sqrt{3}$
即:

$$
(2-\sqrt{3})^{\frac{x}{2}}=(2-\sqrt{3})^{-1} \text { 或 } \quad(2-\sqrt{3})^{\frac{x}{2}}=2-\sqrt{3}
$$

$\therefore x=-2$ 或 $x=2$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{-2,2\}$.

未知数前面有对数符号的方程称为对数方程. 解对数方程一般常用的方法是根据对数定义直接把对数式的等式写成指数形式的等式。 也有时根据对数函数的单调性把对数方程化为代数方程来解。但是必须注意在解对数方程之前，应该先确定使方程中的对数都有意义的定义域，由此便确定了方程的根的上、下界. 在求得对数方程之解后, 应该舍去在根的上、下界之外的增根, 换言之,把那些使真数或底数为非正数或使底数等于 1 的根舍去，下面介绍几种常见的对数方程。

## 四、形如 $\log _{f(x)} g(x)=c \quad$ （其中 $c$ 是常数）的对数方程
可以根据对数定义将它化为指数形式的等式去解.
例10.8 解方程 $\log _{x-5}\left(3 x^2-16 x+29\right)=2

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