最后更新: 2025-08-31 11:28 查看: 805 次反馈同步训练

反函数

## 反函数
一般地，对于函数 $y=f(x)$ ，设它的定义域为 $D$ ，值域为 $A$ ，如果对 $A$ 中任意一个值 $y$ ，在 $D$ 中总有唯一确定的 $x$ 值与它对应，且满足 $y=f(x)$ ，这样得到的 $x$ 关于 $y$ 的函数叫做 $y=f(x)$ 的反函数，记作 $x=f^{-1}(y)$ 。

> **但是，因为习惯上，我们自变量常用 $x$ 表示，而函数用 $y$ 表示，所以又把它改写为 $y=f^{-1}(x)(x \in A)$**

`例`求二次函数 $f(x)=x^2(x>0)$ 的反函数。
解析：对于二次函数 $f(x)=x^2(x>0)$ ，它有反函数，因为该函数的定义域为全体正实数，每个函数值 $y$ 都对应唯一的一个自变量 $x=\sqrt{y}$ ，然后按照习惯，更改一下$x,y$ 的表示，即把$x$换位$y$, 把$y$ 换为$x$， 所以它的反函数为：

$$
y=\sqrt{x}(x>0)
$$

`例` 已知函数$ f(x) = 2^{x-1} + 3$ （其定义域为$ x \in \mathbb{R}$），求它的反函数$ f^{-1}(x)$

解： 
**第一步：确认原函数是否具有反函数**
原函数$ f(x) = 2^{x-1} + 3$ 是一个指数函数的变形。因为底数 2 > 1，所以它是一个严格单调递增的函数。严格单调的函数必然是一一对应的，因此它在整个定义域上存在反函数。

**第二步：求反函数的表达式**
求反函数的通用方法是：
1.将$ f(x)$ 替换为$ y$。
2.解关于$ x$ 的方程。
3.将解出的$ x$ 表示为$ y$ 的函数。
4.交换$ x$ 和$ y$，得到$ y = f^{-1}(x)$。

让我们按步骤进行：

1.设$ y = f(x)$：
$y = 2^{x-1} + 3$

2.解方程，用$ y$ 表示$ x$：
将常数项移到另一边：
$y - 3 = 2^{x-1}$       
解的
$   \log_2(y - 3) = \log_2(2^{x-1}) $
即
$ x = \log_2(y - 3) + 1$

3.交换上一步里 $x$ 和$y$的名字
$$
 y = \log_2(x - 3) + 1
$$

所以，反函数为：
$f^{-1}(x) = \log_2(x - 3) + 1$

**第三步：确定反函数的定义域和值域**
这是最关键也是最容易出错的一步。
**①反函数的定义域 就是 原函数的值域**

我们先求原函数$ f(x) = 2^{x-1} + 3$ 的值域。
因为 $ 2^{x-1} > 0$ （任何指数函数的值域都是$ (0, +\infty)$） 所以$ 2^{x-1} + 3 > 3$
即原函数的值域为$ (3, +\infty)$。
因此，反函数$ f^{-1}(x)$ 的定义域是$ x > 3$。

从表达式$ \log_2(x - 3)$ 也可以直接看出，其真数$ (x - 3)$ 必须大于 0。

**②反函数的值域 就是 原函数的定义域**
原函数的定义域是$ x \in \mathbb{R}$。因此，反函数$ f^{-1}(x)$ 的值域是$ \mathbb{R}$（所有实数）

**第四步：最终答案**

函数$ f(x) = 2^{x-1} + 3$ 的反函数是
$f^{-1}(x) = \log_2(x - 3) + 1$

其中，定义域为$ {(3, +\infty)}$，值域为$R$。

### 反函数的判定

（1）反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数；
（2）周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；

### 反函数的性质：
（1）原函数 $y=f(x)$ 和反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称；若点 $(a, b)$ 在原函数 $y=f(x)$ 上，则点 $(b, a)$ 必在其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 上；
（2）函数 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 互为反函数；原函数 $y=f(x)$ 的定义域是它反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的值域；原函数 $y=f(x)$ 的值域是它反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的定义域；
（3）原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数；

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