对数和常用对数

一、对数的定义
在前面我们引入了有理指数的概念，并指出对于正实数 $a$ 与任意实数 $\alpha$ ， $a^\alpha$ 都有明确的意义；在学习指数时，我们回顾一下，同底指数幂有一些运算公式:

$$
\begin{aligned}
a^m \cdot a^n & =a^{m+n} \\
a^m \div a^n & =a^{m-n} \\
\left(a^m\right)^n & =a^{m n} \\
\sqrt[n]{a} & =a^{\frac{m}{n}}
\end{aligned}
$$

这里幂指数 $m, n$ 为任意实数, 根指数 $n$ 是大于 1 的自然数, $a$ 为正实数.

这就是说, 同底的幂相乘转化为指数相加; 同底的幂相除转化为指数相减;幂的乘方转化为指数相乘；幂的开方转化为指数相除，对于数值的计算，加法和减法显然比乘法和除法容易得多，譬如我们用 2 的 $n$ 次幂可以简捷地算出式子: $M=\frac{512^2 \times 64}{32^3 \times 256}$ 的值.

$$
M=\frac{\left(2^9\right)^2 \times 2^6}{\left(2^5\right)^3 \times 2^8}=2^{18+6-15-8}=2^1=2
$$

因此，我们自然就希望把这一性质用到实际计算工作中去，使计算简化.
现在的问题是，任意两个正数相乘，能否应用上述简化的思想来计算？即，如果 $M$ 和 $N$ 均为任意正实数，能否实现下述过程：

![图片](/uploads/2024-12/0454c2.jpg)
 
 注意: 因为 1 以外的正数不可能等于 1 的任何次幂, 所以这里必须限定 $a \neq 1$.
要把任意正数的乘法转化为同底的幂的乘法，从而用指数相加来完成，关键在于任意一个正数 $N$ 能否写成一个已知数 $a(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的幂 $a$ 的形式，换句话说，就是给了一个不等于 1 的正实数 $a$ 作为底数，那么对于任意给定的正实数 $N$, 是否有唯一的实数 $b$ 存在, 使得 $N=a$ ，只要这个问题解决了，上述的想法就可实现，回答是肯定的，这就是：

定理
设 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 那么对于任意给定的正实数 $N$ 存在唯一的实数 $b$, 使得

$$
a^b=N
$$

定理的严格证明需要较多的理论，我们将在第六册给出它的证明.现在我们利用这个定理再介绍一个新的概念和一个新的符号如下:

定义
设 $a$ 是一个不等于 1 的正实数, $N$ 是任意给定的正实数, 如果实数 $b$ 使得等式

$$
a^b=N
$$

成立, 那么 $b$ 就叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数, 记为 $\log _a N=b, N$ 叫做真数.

从定义里可以看出, 下面两个式子是等价的:

$$
a^b=N \Longleftrightarrow \log _a N=b
$$

前者叫做指数式，后者叫做对数式。
由定义知道, 求对数是求方幂的一种逆运算. 若给出底数 $a$ 和指数 $b$ 就是求方幂 $N$, 反过来, 若给出底数 $a$ 和方幂 $N$, 求指数 $b$, 就是求对数 $b=$ $\log _a N$; 若给出指数 $b$ 和方幂 $N$, 求底数 $a$, 这就是求方根 $a=N^{\frac{1}{b}}$, 这三个等式， $\log _a N=b, a^b=N$ 和 $a=N^{\frac{1}{b}}$ 是等价的，即如果 $a 、 b 、 N$ 三个数满足其中一个等式，那么它们也满足另外两个等式.

例 1.17 将下列指数式换成对数式：
1. $10^2=100 \Longleftrightarrow \log _{10} 100=2$
2. $3^5=243 \Longleftrightarrow \log _3 243=5$
3. $4^{\frac{1}{4}}=\sqrt{2} \quad \Longleftrightarrow \quad \log _4 \sqrt{2}=\frac{1}{4}$
4. $2^1 0=1024 \quad \Longleftrightarrow \quad \log _2 1024=10$
5. $3^{-1}=\frac{1}{3} \quad \Longleftrightarrow \quad \log _3 \frac{1}{3}=-1$

例1.18 求下面等式中的 $x$ 值：
1. $\log _{64} x=-\frac{2}{3} \quad \Longleftrightarrow \quad x=(64)^{-\frac{2}{3}}=\left(4^3\right)^{-\frac{2}{3}}=4^{-2}=\frac{1}{16}$
2. $\log _x 8=6 \quad \Longleftrightarrow \quad x^6=8, \quad x=\left(2^3\right)^{\frac{1}{6}}=\sqrt{2}$
3. $\log _9 27=x \quad \Longleftrightarrow \quad 9^x=27, \quad 3^{2 x}=3^3$

$$
\therefore \quad 2 x=3, \quad x=\frac{3}{2}
$$

同学们想一想怎样证明下面两个对数的重要性质：

$$
\log a=1 \quad(a>0, a \neq 1)
$$

即底的对数恒等于 1 ;

$$
\log 1=0 \quad(a>0, a \neq 1)
$$

即 1 的对数，对于任何底恒等于 0 .

对某数连续地完成两个互逆的运算得到的数就是原来这个数，例如

$$
(2+3)-3=2, \quad(2 \times 3) \div 3=2
$$

因此如果给出数 $N$, 求出以 $a$ 为底 $N$ 的对数以后, 接着再求以 $a$ 为底该对数为指数的幂, 结果仍等于 $N$. 这一点可将对数式 $\log _a N=b$ 代入指数式 $a^b=N$中的 $b$ 得到下面的恒等式：

$$
a^{\log _\alpha N}=N
$$

这个恒等式也说明 $\log _a N$ 就是方程 $a^b=N$ 的唯一解.
如果给出数 $b$, 我们求出 $a$ 的 $b$ 次幂后, 接着再求这个幂以 $a$ 为底的对数,这相当于把方幂 $a^b=N$ 代人等式 $\log _a N=b$ 中的真数 $N$ 得到恒等式：

$$
b=\log _a a^b
$$

例1.19 计算
1. $3^{\log _3 243}$
3. $4^{1+\log _4 \sqrt{2}}$
5. $5^{\log _5 2-1}$
2. $\log _3 27$
4. $\log _{10} 0.1$

解：
1. $3^{\log _3 243}=243$
2. $\log _3 27=\log _3 3^3=3$
3. $4^{1+\log _4 \sqrt{2}}=4 \cdot 4^{\log _4 \sqrt{2}}=4 \sqrt{2}$
4. $\log _{10} 0.1=\log _{10} 10^{-1}=-1$
5. $5^{\log _5 2-1}=\frac{5^{\log _5 2}}{5}=\frac{2}{5}$

例1.20 试将以下四式写成 2 的方幂：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{8}, \quad 3, \quad \sqrt[3]{3}
$$

解：
1. $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
2. $\sqrt{8}=2^{\frac{3}{2}}$
3. $3=2^{\log _2 3}$
4. $\sqrt[3]{3}=2^{\log _2 \sqrt[3]{3}}$

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