最后更新: 2025-05-30 09:06 查看: 209 次反馈同步训练

高考选择压轴题选编

幂函数、指数对数比较大小是高考常考的压轴题，这里选择部分供练习。

`例`已知 $a=1.1^{1.1}, b=e^{0.11}, c=1+1.1 \ln 1.1$ ，下列说法正确的是（）。

A．$a>b>c$
B．$b>c>a$

C．$b>a>c$
D．$a>c>b$

答案：C
解析：设 $f(x)=e^{x-1}-x, x>1$ ，则 $f^{\prime}(x)=e^{x-1}-1>0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递增，所以 $f(1.1)>f(1)$ ，即 $e^{0.1}-1.1>e^0-1=0$ ，所以 $e^{0.1}>1.1$ ，又 $y=x^{1.1}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，所以 $\left(e^{0.1}\right)^{1.1}>(1.1)^{1.1}$ ，即 $e^{0.11}>1.1^{1.1}$ ，所以 $b>a$ ；
设 $g(x)=1+\ln x-x, x>1$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1<0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，
所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递减，所以 $g\left(1.1^{1.1}\right)<g(1)=0$ ，即 $1+\ln 1.1^{1.1}-1.1^{1.1}<0$ ，
所以 $1+\ln 1.1^{1.1}<1.1^{1.1}$ ，即 $1+1.1 \ln 1.1<1.1^{1.1}$ 所以 $a>c$ ；综上所述：$b>a>c$ ，故选：C

`例`已知 $a=\frac{9}{2}, b=e^{\sqrt{3}}, c=\ln 7$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A．$c<a<b$
B．$a<b<c$

C．$b<a<c$
D．$c<b<a$

答案：A
解析：$\because 1=\ln e<\ln 7<\ln e^2=2, \therefore 1<c<2, \therefore a=\frac{9}{2}>c$ ，又 $\because b=e^{\sqrt{3}}>e>2$ ，
$\therefore b>c$ ，令 $f(x)=\frac{e^x}{x^2+\frac{3}{2}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{e^x\left(x^2+\frac{3}{2}\right)-e^x(2 x)}{\left(x^2+\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{e^x\left(x^2-2 x+\frac{3}{2}\right)}{\left(x^2+\frac{3}{2}\right)^2}$ ，又 $\because y=x^2-2 x+\frac{3}{2}$ 中，
$\Delta=4-4 \times \frac{3}{2}=-2<0$,
$\therefore y=x^2-2 x+\frac{3}{2}>0, \therefore f^{\prime}(x)>0$ 在 R 上恒成立，$\therefore f(x)$ 在 R 上单调递增，
$\therefore f(\sqrt{3})>f(1)$ ，即：$\frac{e^{\frac{7^{\frac{3}{0}}}{9}}}{\frac{9}{2}}>\frac{e}{2}>1, \therefore e^{\sqrt{3}}>\frac{9}{2}$ ，即：$b>

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：比较大小

下一篇：附录：新高考-超越函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)