最后更新: 2025-04-13 12:10 查看: 189 次反馈同步训练

比较大小

## 比较大小
幂函数，指数函数，对数函数何在以前比较大小是高考必考的题型，脑海里必须记住各个函数图像变换趋势。

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`例` 已知 $a=1.1^{1.1}, b= e ^{0.11}, c=1+1.1 \ln 1.1$ ，下列说法正确的是（ ）。
A.$a>b>c$
B. $b>c>a$
C. $b>a>c$
D. $a>c>b$

解：设 $f(x)= e ^{x-1}-x, x>1$ ，则 $f^{\prime}(x)= e ^{x-1}-1>0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递增，所以 $f(1.1)>f(1)$ ，即 $e ^{0.1}-1.1> e ^0-1=0$ ，所以 $e ^{0.1}>1.1$ ，又 $y=x^{1.1}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，所以 $\left( e ^{0.1}\right)^{1.1}>(1.1)^{1.1}$ ，即 $e ^{0.11}>1.1^{1.1}$ ，所以 $b>a$ ；
设 $g(x)=1+\ln x-x, x>1$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1<0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，
所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递减，所以 $g\left(1.1^{1.1}\right)<g(1)=0$ ，即 $1+\ln 1.1^{1.1}-1.1^{1.1}<0$ ，
所以 $1+\ln 1.1^{1.1}<1.1^{1.1}$ ，即 $1+1.1 \ln 1.1<1.1^{1.1}$ 所以 $a>c$ ；综上所述：$b>a>c$ ，故选： C

`例`已知 $a=\frac{9}{2}, b= e ^{\sqrt{3}}, c=\ln 7$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）
解：$\because 1=\ln e <\ln 7<\ln e ^2=2, \therefore 1<c<2, \therefore a=\frac{9}{2}>c$ ，又 $\because b= e ^{\sqrt{3}}> e >2$ ，
$\therefore b>c$ ，令 $f(x)=\frac{ e ^x}{x^2+\frac{3}{2}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{ e ^x\left(x^2+\frac{3}{2}\right)- e ^x \cdot(2 x)}{\left(x^2+\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{ e ^x\left(x^2-2 x+\frac{3}{2}\right)}{\left(x^2+\f

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