最后更新: 2025-05-28 08:29 查看: 394 次反馈同步训练

附录1：斐波那契数列

> 之所以把斐波那契数列单独拿出来介绍是因为这个数列在数学、物理、计算机、自然科学里占有重要地位，很多较为复杂的公式都是以他为基础。

## 斐波那契数列起源
故事得从西元1202年说起，话说有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子?

![图片](/uploads/2025-02/278907.jpg)

解：我们可以推算：
①1 月 1 对
②2 月 1 对
③3 月 2 对
④4 月 3 对
⑤5 月 5 对

如下图

![图片](/uploads/2025-02/ee3ceb.jpg)

记第 $n$ 个月的兔子对数为 $F_n$ ，则

$$
F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, \cdots, F_{12}=144 .
$$

这说明，一年过后，一对兔子会变成 144 对兔子．我们用数字将数列 $\left\{F_n\right\}$ 排列出来：

$$
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \cdots,
$$

就得到了著名的斐波那契数列．
观察上述数列，我们不难发现：

$$
\boxed{
F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n \geqslant 3)
}
$$

这是一个由**递推关系**给出的数列，这也意味着要求 $F_n$ ，需先求 $F_{n-1}$ 和 $F_{n-2}$（如图 2）．

![图片](/uploads/2025-02/07210b.jpg)

> **斐波那契数列转换为数学语言就是：一个函数初始条件$F(0)=0，F(1)=1$, 然后 $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$**

然后，就是这么一个看似平淡无奇的数列，却支撑了半个数学的半壁江山。

## 和黄金分割的关系
让我们再把斐波那契数列的签名几项写出来：
$$
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
$$

天文学家开普勒研究了该数列后发现，该数列前、后两项之比 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \cdots$ ，也组成了一个数列，这个数论的极限会趋近黄金分割:

$$
\frac{f_{n+1}}{f_n} \approx a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\varphi \approx 1.618 \ldots
$$

这里就引入了另外一个股市：黄金分割点。

### 黄金分割点

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯曾提出一个问题：**能否将一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项**， 转换为数学语言就是：给你一条1米长的线段，截取一段为$x$,则剩余一段为$1-x$ ，要求
$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$
可以解的$x=0.618$ ,这个 0.618 被称为黄金分割点。有资料记载，早在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派就发现 $1:0.618$就是黄金分割。
为什么被称为黄金分割点呢？因此生理学家发现，**具有黄金分割点的东西是最美的**。

比如，在人脑的感官里，如果鼻子到发际线的长度和脸的长度比值为 0.618， 人会感觉非常协调，自然是最美的。

![图片](/uploads/2025-05/6880eb.jpg){width=200px}

画家们则发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美，古希腊的著名雕像断臂维纳斯通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，以达到最美的效果

![图片](/uploads/2025-05/1c1efa.jpg){width=300px}
 
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

## 植物生长
植物学家法线，很多植物的生长服从斐波那契数

![图片](/uploads/2025-05/f51515.jpg)
 
观察不同种类的花朵，你会发现它们的花瓣数量常常是斐波那契数！比如：百合有3片花瓣；野玫瑰有5片；雏菊可能有21片、34片，甚至55片，这些数字恰恰都是斐波那契数列中的数字，后来研究表明，**这是因为斐波那契数列能够让花瓣在生长时均匀排列，帮助植物更好地吸收阳光和雨露**。

再如，树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝。每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数正好构成斐波那契数列（如图3）。

![图片](/uploads/2025-02/0517f0.jpg)
 
## 生成函数
斐波那契数，其定义为 $F_0=0$ ， $F_1=1$ ，一般形式为 
 
 $$
 \boxed{
 F_n=F_{n-1}+F_{n-2}
 }
 $$ 
 
 它的前几项是 $0,1,1,2,3,5,8,13, \cdots$ ．
 
 从原则上说，斐波那契数不存在任何奥秘，因为它有明确的公式，我们可以求出序列中的任何项．在实际应用中，这个公式显然不适用于较大的 $n$ ．虽然我们可以求出 $F_{10}=55$ ，但是计算 $F_{100}=354224848179261915075$ 会是件相当乏味无聊的事。如果用纸笔去计算 $F_{2011}$ ，则要引起警觉，因为它超过了 400位数字！
那么，有没有简单、快速计算后续项的方法呢？拉格朗日研究了该数学，提出了生成函数的办法。关于具体推导，可以参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2558)

下面是斐波那契数列的通项公式。

$$
\boxed{
F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
}
$$
 
有了通项公式，就可以任意算出数列的第N项，而不用一层层递归计算。

## 与矩阵的关系

斐波那契数列的递推可以用矩阵乘法的形式表达：

$$
\begin{bmatrix}F_{n-1} & F_{n} \cr\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}F_{n-2} & F_{n-1} \cr\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 1 \cr 1 & 1 \cr\end{bmatrix}
$$

设 $P = \begin{bmatrix}0 & 1 \cr 1 & 1 \cr\end{bmatrix}$，我们得到

$$
\begin{bmatrix}F_n & F_{n+1} \cr\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}F_0 & F_1 \cr\end{bmatrix} P^n
$$

于是我们可以用矩阵乘法在 $\Theta(\log n)$ 的时间内计算斐波那契数列。

最终可以求得 $T$ 的本征值和对应本征向量

$$
\left\{\begin{array}{l}
v_1=\left(1,

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