最后更新: 2025-05-30 09:03 查看: 415 次反馈同步训练

高考研究：比较大小近似值法

> 比较大小是高考数学里常考的一种题型，通常需要利用单调性和奇偶性等进行判断。高考时间有限，在很短的时间里里进行大规模推导会非常慢，此时靠部分死记常用的近似值非常方便。

`例` （2022年新高考I卷） 设 $a=0.1 e ^{0.1}, b=\frac{1}{9}, c=-\ln 0.9$ ，则
A．$a<b<c$
B．$c<b<a$
C．$c<a<b$
D．$a<c<b$

解：**（正规解法）**
$$
\begin{aligned}
& \text { 设 } u(x)=x e^x(0<x \leqslant 0.1) \text {, } \\
& v(x)=\frac{x}{1-x}(0<x \leqslant 0.1) \text {, } \\
& w(x)=-\ln (1-x)(0<x \leqslant 0.1) \text {. }
\end{aligned}
$$

则当 $0<x \leqslant 0.1$ 时，$u(x)>0, ~ v(x)>0, ~ w(x)>0$ ．
①设 
$$
\begin{aligned}
&   f(x)=\ln [u(x)]-\ln [v(x)] \\
& =\ln x+x-[\ln x-\ln (1-x)] \\
& =x+\ln (1-x)(0<x \leqslant 0.1),
\end{aligned}
$$

则 $f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}<0$ 在 $(0,0.1]$ 上恒成立，

所以 $f(x)$ 在 $(0,0.1]$ 上单调递减，
所以 $f(0.1)<f(0)=0+\ln (1-0)=0$ ，
即 $\ln [u(0.1)]-\ln [v(0.1)]<0$ ，
所以 $\ln [u(0.1)]<\ln [v(0.1)]$ ．
又函数 $y=\ln x$ 在 $(0, ~+\infty)$ 上单调递增，
所以 $u(0.1)<v(0.1)$ ，即 $0.1 e ^{0.1}<\frac{1}{9}$ ，
所以 $a<b$ ．

②设 $g(x)=u(x)-w(x)=x e ^x+\ln (1-x)(0<x \leqslant 0.1)$ ，则 $g^{\prime}(x)=(x+1) e ^x-\frac{1}{1-x}=\frac{\left(1-x^2\right) e ^x-1}{1-x}(0<x \leqslant 0.1)$ ．

设 $h(x)=\left(1-x^2\right) e ^x-1(0<x \leqslant 0.1)$ ，
则 $h^{\prime}(x)=\left(1-2 x-x^2\right) e ^x>0$ 在 $(0,0.1]$ 上恒成立，
所以 $h(x)$ 在 $(0,0.1]$ 上单调递增，
所以 $h(x)>h(0)=\left(1-0^2\right) \times e ^0-1=0$ ，
即 $g^{\prime}(x)>0$ 在 $(0,0.1]$ 上恒成立，
所以 $g(x)$ 在 $(0,0.1]$ 上单调递增，

所以 $g(0.1)>g(0)=0 \times e ^0+\ln (1-0)=0$ ，即 $g(0.1)=u(0.1)-w(0.1)>0$ ，
所以 $0.1 e ^{0.1}>-\ln 0.9$ ，即 $a>c$ ．
综上，$c<a<b$ ，故选C．

就上面这种计算，没有3分钟估计很难解决。

解法二：近似值法

$$
\begin{gathered}
e^{0.1} \approx 1+0.1+\frac{0.1^2}{2}=1+0.1+0.005=1.105 \\
\ln 0.9=\ln (1-0.1) \approx-0.1-\frac{(-0.1)^2}{2}=-0.1-0.005=-0.105 \\
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=0.1 e^{0.1} \approx 0.1 \times 1.105=0.1105 \\
b=\frac{1}{9} \approx 0.111 \\
c=-\ln 0.9 \approx-(-0.105)=0.105
\end{array} \Rightarrow c<a<b\right.
\end{gathered}
$$

## 常用的近似值 
      
$$
\begin{gathered}
e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\left(\frac{x^3}{6}\right) \\
\ln (1+x) \approx x-\frac{x^2}{2}+\left(\frac{x^3}{3}\right) \\
\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2+\left(\frac{1}{16} x^3\right) \\
\sin x \approx x-\

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