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课外阅读：历史上的对数

## 课外阅读：历史上的对数
数学史上一般认为对数是由苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617）于 16 世纪末到 17 世纪初所发明。

那时，哥白尼的＂太阳中心说＂开始流行，天文学成为热门学科．纳皮尔是一位天文爱好者，为了简化有关天文观测数据的计算，他多年潜心研究大数的计算技术，终于独立发明了对数。

纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．下面的表格说明了这个方法的原理。

![图片](/uploads/2025-02/2e0736.jpg)
 
 表中两行数字之间的关系是明确的：第一行是指数，第二行表示 2 的对应幂．如果要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加法来实现。

比如，第一行中 $6+8=14$ ，对应第二行中的 $64 \times 256=16384$ 。
这种计算方法，体现了现代数学中对数函数化乘除为加减的性质。
但表中第二行的数字跳得太快，并且缺少很多数字，如3，5，7等，这样很多数的计算就无法借助这张表来完成．经过多年的探索，纳皮尔解决了这些问题，于 1614 年出版了他的数学名著《奇妙的对数规律的描述》，向世人公布并且解释了他的这项发明。

对数的另外一个发明人，是别尔基（1552－1632），他不是数学家，但他是最先掌握对数思想的人。1603年，别尔基被任命为布拉格地方的宫廷钟表匠，由于工作的需要，他要利用仪器结合观察的情况做天文计算，这就促使他产生简化计算的思想。他花了 8 年的时间完成了著作《等差数列和等比数列表》，这实际上就是一种对数表．但他的著作直到 1620 年才出版，此时纳皮尔的对数已经闻名全欧洲了．

指数和对数发展史上的关键人物还有英国数学家布里格斯（1561－1630），他在 1616 年拜访纳皮尔，提出编造常用对数表。在纳皮尔去世后，他以毕生的精力，继承纳皮尔未竟的事业，在1624年出版了《对数算术》一书，载有 $1 \sim 20000$ 及 $90000 \sim 100000$ 的 14 位对数表，这在当时是需要花费巨大精力的工作。1628年，由荷兰数学家佛拉格（1600－1667）把余下的 $20000 \sim 90000$ 的常用对数补全，这是流行最广的对数表。

法国哲学家，数学家，物理学家笛卡儿（1596—1650）于1637年开始用符号 $a^n$表示正整数幂，即 $n$ 个 $a$ 的连乘。幂的符号经过多人的工作，扩展到分数指数幂，负指数幂，直到 18 世纪初，英国著名物理学家，数学家牛顿（1643—1727）开始用 $a^x$ 表示任意实数指数幂。

欧拉（1707－1783）在 18 世纪发现对数与指数间的联系，他指出＂对数源出于指数＂，这个见解很快被人们所接受。

原来，历史上先有对数运算，后来才有一般指数的幂运算。
那么，历史上发明对数的大师们，是如何解决前面表格上＂数字跳得太快＂这个关键问题的呢？

他们的办法都是在表中的第二行，每次不乘 2 ，而用一个非常接近于 1 的数来代替 2 ，以使得两个数的间隔尽量小。纳皮尔用的是小于 1 的数 $b=1-0.0000001$ $=0.9999999$ ，这是因为他想将对数用于简化三角函数的计算．而别尔基用的是大于 1 的数 $a=1+0.0001=1.0001$ ，因为他主要考虑日常的计算．

那个年代既没有函数概念，又没有幂指数的记号，对数的原理推导和数据计算的困难可想而知。下面粗略地解释一下他们的方法。

以别尔基的方法为例，分别从 $y=0$ 和 $x=1.0000$ 开始计算，每一步让 $y$ 加 1 ，而 $x$ 则增加当前值的万分之一．用 $x_n$ 记对应于 $y=n$ 时的 $x$ 的值，有

$$
x_{n+1}=x_n+\frac{x_n}{10000}=x_n \cdot 1.0001=1.0001^{n+1},
$$

于是 $x_n=1.0001^n$ ，也可记为 $x=1.0001^y$ 。实际上，$y=100$ 时对应的 $x=$ 1． $010049662 \cdots$ ，而 $y=101$ 时则 $x=1.010150667 \cdots$ ，这样算到 $y=46054$ 时，有 $x=99.999955936 \cdots$ ，对于 4 位有效数字的乘除和乘方开方就够用了。例如要计算 $7640 \div 2784$ ，由于 $7640 \div 2784=7.640 \div 2.784$ ，可在表上查出 7.640 和 2.784 对应的最近的 $y$ 分别为 20335 和 10239 ．
 ![图片](/uploads/2025-02/f57886.jpg)
 
 两者相减得 $20335-10239=10096$ ，从表中查出 10096 对应的 $x

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