最后更新: 2024-12-10 11:21 ● 参与者查看: 72 次纠错分享参与项目词条搜索

对数的性质

在前面我们说明了对于每个正实数 $x$ 都有唯一的以 $a$ 为底的对数 $\log _a x$和它对应，于是，

$$
\begin{aligned}
M(M>0) & \longrightarrow \log _a M, \quad \text { 使得 } a^{\log _a M}=M \\
N(N>0) & \longrightarrow \log _a N, \quad \text { 使得 } a^{\log _a N}=N \\
M \cdot N(M>0, N>0) & \longrightarrow \log _a(M \cdot N), \quad \text { 使得 } a^{\log _a(M N)}=M N \\
\frac{M}{N}(M>0, N>0) & \longrightarrow \log _a \frac{M}{N}, \quad \text { 使得 } a^{\log _a \frac{M}{N}}=\frac{M}{N} \\
M^u(M>0, u \in R ) & \longrightarrow \log _a M^u, \quad \text { 使得 } a^{\log _a M^u}=M^u \\
\sqrt[n]{M}(n \geq 1, n \in Z ) & \longrightarrow \log _a \sqrt[n]{M}, \quad \text { 使得 } a^{\log _a} \sqrt[n]{M}=\sqrt[n]{M}
\end{aligned}
$$

现在我们来研究怎样求:
1. 积的对数;
2. 商的对数;
3. $u$ 次方幂的对数;
4. $n$ 次方根的对数.

显然对数的性质与指数法则有密切关系，譬如，对应于指数法则 $a^u \cdot a^v=$ $a^{u+v}$ ，就有下面的对数法则：

性质1
两个正数乘积的对数, 等于这个积的因数的对数的和, 即

$$
\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N
$$

证明：根据恒等式，有

$$
M=a^{\log _a M}, \quad N=a^{\log _a N}
$$

那么将指数法则: $a^u \cdot a^v=a^{u+v}$ 应用到 (1.5), 得到

$$
M N=a^{\log _a M} \cdot a^{\log _a N}=a^{\log _a M+\log _a N}
$$

根据对数定义得到

$$
\log _a M N=\log _a M+\log _a N
$$

对应于指数法则 $\frac{a^u}{a^v}=a^{u-v}$, 就有对数法则:

性质2
一个商的对数等于分子与分母的对数的差，即

$$
\log _a \frac{M}{N}=\log _a M-\log _a N
$$

证明：将指数法则 $\frac{a^u}{a^v}=a^{u-v}$ 应用到（1.5），得到：

$$
\frac{M}{N}=\frac{a^{\log _a M}}{a^{\log _a N}}=a^{\log _a M-\log _a N}
$$

根据对数定义得到：

$$
\log \frac{M}{N}=\log _a M-\log _a N
$$

对应于指数法则 $\left(a^m\right)^n=a^{m n}$ 就有对数法则:
性质 3
一个幂的对数, 等于幂底数的对数与指数的积, 即

$$
\log _a M^u=u \log _a M
$$
证明：将指数法则 $\left(a^m\right)^n=a^{m n}$ 应用到（1.5）得到

$$
M^u=\left(a^{\log _a M}\right)^u=a^{u \log _a M}
$$

根据对数定义得到

$$
\log _a M^u=u \log _a M
$$

性质 3 的特殊情况是：
性质 4
$M(M>0)$ 的 $n$ 次算术根的对数等于根指数的倒数乘以被开方数的对数, 即

$$
\log _a \sqrt[n]{M}=\frac{1}{n} \log _a M
$$

注意：
1. 由性质2 可得 $\log _a \frac{1}{M}=-\log _a M(M>0)$;
2. 一般来说, $\log _a(M \pm N) \neq \log _a M \pm \log _a N$;
3. 上述四个性质说明, 如果先对算式取对数, 即把算式过渡到对数, 然后根据对数运算法则，两个数相乘与相除可以化为它们的对数相加与相减，一个数的乘方与开方可以化为把它的对数乘以或除以指数, 这样计算简捷得多, 以后我们还要进一步说明, 如何把计算对数的结果再还原到算式的结果.

例1.21 已知 $\log _{10} 2=0.3010$, 求 $\log _{10} 5, \log _{10} 40, \log _{10} 5000$
解:

$$
\begin{aligned}
\log _{10} 5 & =\log _{10} \frac{10}{2}=\log _{10} 10-\log _{10} 2=1-0.3010=0.6990 \\
\log _{10} 40 & =\log _{10}(4 \times 10) \\
& =\log _{10} 2^2+\log _{10} 10=2 \log _{10} 2+1 \\
& =2 \times(0.3010)+1=1.6020 \\
\log _{10} 5000 & =\log _{10}(5 \times 1000)=\log _{10} 5+\log _{10} 10^3 \\
& =\left(\log _{10} 10-\log _{10} 2\right)+3 \log _{10} 10 \\
& =4-0.3010=3.6990
\end{aligned}
$$

例1.22 已知 $\log _{10} 2=0.3010, \log _{10} 3=0.4771$, 求 $\log _{10} 0.2, \log _{10} \sqrt{1.5}$, $\log _{10} 450$

解:

$$
\begin{aligned}
\log _{10} 0.2 & =\log _{10} \frac{2}{10}=\log _{10} 2-\log _{10} 10 \\
& =0.3010-1=-0.6990 \\
\log _{10} \sqrt{1.5} & =\frac{1}{2} \log _{10} \frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\log _{10} 3-\log _{10} 2\right) \\
& =\frac{1}{2}(0.4771-0.3010)=0.08805 \\
\log _{10} 450 & =\log _{10} \frac{3^2 \times 10^2}{2}=\log _{10}(3 \times 10)^2-\log _{10} 2 \\
& =2\left(\log _{10} 3+\log _{10} 10\right)-\log _{10} 2 \\
& =2(0.4771+1)-0.3010=2.6532
\end{aligned}
$$

注意：在解题时常用到 $\log _a a=1, \log _a 1=0$.
求任何单项式的对数就是求该式中各因式的对数的代数和.
例1.23 已知 $y=\frac{(a-b)^3 \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{(a+b)^2 d^3}}$, 求 $\log _c y$
解:

$$
\begin{aligned}
\log _c y & =\log _c \frac{(a-b)^3 \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{(a+b)^2 d^3}} \\
& =\log _c(a-b)^3 \cdot \sqrt[3]{c}-\log _c \sqrt[5]{(a+b)^2 d^3} \\
& =\log _c(a-b)^3+\log _c \sqrt[3]{c}-\frac{1}{5} \log _c(a+b)^2 d^3 \\
& =3 \log _c(a-b)+\frac{1}{3} \log _c c-\frac{1}{5}\left[2 \log _c(a+b)+3 \log _c d\right] \\
& =3 \log _c(a-b)+\frac{1}{3}-\frac{2}{5} \log _c(a+b)-\frac{3}{5} \log _c d
\end{aligned}
$$

所谓代数式的还原法就是由一个单项式的对数式反求这个单项式.
例1.24 已知 $\log _2 x=\log _2 a+2 \log _2 b-\frac{1}{3} \log _2 c$, 求 $x$.
解:

$$
\log _2 x=\log _2 a+\log _2 b^2-\log _2 \sqrt[3]{c}=\log _2 a b^2-\log _2 \sqrt[3]{c}=\log _2 \frac{a b^2}{\sqrt[3]{c}}
$$

根据同底的两个对数相等, 则它的真数相等, 得出

$$
x=\frac{a b^2}{\sqrt[3]{c}}
$$

例1.25 已知 $\log _a N=\log _a c+b$, 求 $N$.
解:

$$
\log _a N=\log _a c+\log _a a^b=\log _a c \cdot a^b
$$

根据同底的两个对数相等则其真数相等，得出

$$
N=c \cdot a^b
$$

性质 5
以 $b$ 为底 $N$ 的对数，除以以 $b$ 为底 $a$ 的对数的商，可以换作以 $a$ 为底 $N$ 的对数

$$
\log _a N=\frac{\log _b N}{\log _b a}
$$

这个公式叫做换底公式.

证明: 因为 $N=a^{\log _a N}$, 两边取以 b 为底的对数, 得到

$$
\log _b N=\log _b\left(a^{\log _a N}\right)
$$

应用对数法则（性质3），得到

$$
\log _b N=\left(\log _a N\right) \log _b a
$$

即

$$
\log _a N=\frac{\log _b N}{\log _b a}
$$

推论

$$
\log _a b=\frac{1}{\log _b a}
$$

例1.26 已知 $\log _{10} 2=0.3010$, 求 $\log _2 5$.

解：

$$
\log _2 5=\log _2 \frac{10}{2}=\log _2 10-\log _2 2=\frac{1}{\log _{10} 2}-1=\frac{1}{0.3010}-1=\frac{699}{301}
$$

例1.27 已知 $\log _{10} 2=a, \log _{10} 7=b$, 求 $\log _8 9.8$.
解:

$$
\begin{aligned}
\log _8 9.8 & =\frac{\log _{10} 9.8}{\log _{10} 8}=\frac{\log _{10} \frac{2 \times 7^2}{10}}{\log _{10} 2^3} \\
& =\frac{\log _{10} 2+2 \log _{10} 7-\log _{10} 10}{3 \log _{10} 2} \\
& =\frac{a+2 b-1}{3 a}
\end{aligned}
$$

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