最后更新: 2025-05-30 07:54 查看: 544 次反馈同步训练

对数函数

## 对数函数

#### 底数与真数
一般地，如果 $a^x=N(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ ，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log _a N$.
( $a$ 底数， $N$ 真数， $\log _a N$ 对数)

>我们知道对数是指数的逆运算，在指数函数里，关于指数函数我们为什么只研究底数大于 0 不等于 1 的情况，不等于 1 很好理解，因为底数为 1 那就是个常数函数了，没有什么研究意义。至于为什么要考虑大于 0 ，难道负数不能有指数吗？当然可以！只不过想要研究指数函数的话，负数作为底数没有什么研究的意义，比如 $(-1)^n$ ，当 n 为奇数是是负值，而当 $n$ 为偶数时为正数，这是一个间断的函数，而且间断点有无穷个对于中学来说完全没有意义。因此，因为指数的限制，导致了对数函数也增加了$a>0$且$a \ne 1$,这一个限制，成为考试时的一个热点。

####  两个重要对数
常用对数：以 10 为底的对数， $\log _{10} N$ 记为 $\lg N$ ；
自然对数：以无理数 $e$ 为底的对数的对数, $\log _e N$ 记为 $\ln N$.

## 对数式与指数式的互化
![图片](/uploads/2023-08/aba7ee.jpg)

`例`已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$,
求 $\log _a 1$ 与 $\log _a a$ 的值.
解 因为 $a^0=1, a^1=a$, 所以 $\log _a 1=0, \log _a a=1$.

由上面这个例题可以得到下面的结论

## 结论
$a>0$ 且 $a \neq 1$ 时, $b=\log _a N$ 的充要条件是 $a^b=N$.由指数函数可知，N一定大于零。因此，只有 $N>0$ 时, $\log _a N$ 才有意义, 这通常简称为 “**负数和零没有对数**”.

即

(1) 负数和零没有对数
(2) $\log _a a=1 ， \log _a 1=0$.
特别地， $\lg 10=1 ， \lg 1=0, \ln e=1 ， \ln 1=0$.

##   常用对数
以 10 为底的对数叫做常用对数. 在数值的计算上常要用到以 10 为底的对数一些特性. 为了书写的方便，我们约定把 $\log _{10} N$ 的底 10 略去不写，用专门的记号 " lg" 代替 " $\log _{10}$ "，例如

$$
\log _{10} 100=2 \quad \text { 简写成 } \quad \lg 100=2
$$

以后，如果没有指明对数的底，就认为所说的对数是常用对数，例如说 " 2 的对数是 0.3010 " 就是指 2 的常用

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