最后更新: 2025-04-14 19:18 查看: 854 次反馈刷题

指数函数的图像

## 指数函数的图像

指数函数 $y=a^x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的性质，归根结底源于幂运算的性质。例如，由于任意非零数的零次幂为 1 ，即 $a^0=1$ ，可见任意指数函数的图象都经过点 $(0, ~ 1)$ ；由于正数的任意次幂仍为正，所以任意指数函数的图象都在 $x$ 轴上方。由前述幂运算的基本不等式可得：

对任意的正数 $a>1$ 和两数 $r>s$ ，有 $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}>1$ ，即 $a^r>a^s$ ．
对任意的正数 $a<1$ 和两数 $r>s$ ，有 $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}<1$ ，即 $a^r<a^s$ ．
可见：当 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；
当 $0<a<1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减。
当 $a>1$ 时，设 $a=1+h$ ，可以证明 $a^n=(1+h)^n>n h$ 。这表明只要 $x$ 足够大则 $a^x$ 可以大于任意给定的正数，而 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ 则可以小于任意给定的正数。由此可得指数函数的值域为 $(0,+\infty)$ ．

`例` 作出指数函数 $y=2^x$ 和 $y=10^x$ 的图象．
解：如图
 ![图片](/uploads/2025-02/6789a5.jpg)
 
 指数函数 $y=2^x, y=10^x$ 的底数都大于 1．一般地，当底数 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 的图象走势类似于图4．2－3．

从图象看指数函数 $y=a^x(a>1)$ 的性质，和理性认识相符，例如：
（1）图象总在 $x$ 轴上方，且图象与 $x$ 轴永不相交，值域是 $(0,+\infty)$ ．
（2）图象恒过点 $(0,1)$ ，用式子表示就是 $a^0=1$ 。
（3）函数是区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的增函数．

当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥想象力的结果。

如果底数 $a \in(0,1)$ ，则它的倒数 $\frac{1}{a}>1$ ．若点 $P(x, y)$ 在函数 $y=a^x(0<a<1)$的图象上，由于 $a^x=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$ ，则点 $P(x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $Q(-x, y)$ 一定在函数 $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\left(\frac{1}{a}>1\right)$ 的图象上，反之亦成立．所以函数 $y=a^x(0<a<1)$ 与函数$y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\left(\frac{1}{a}>1\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称。例如 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ 与 $y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$ 的图象关于 $y$ 轴对称，如图 4．2－4 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/1f46bc.jpg)
 
 函数 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ 的图象可以看成指数函数 $y=a^x \quad(0<a<1)$ 的代表．与 $a>1$ 时的区别，仅仅在于递增和递减的不同．其他如定义域与值域，恒过点 $(0,1)$ 等都是一样的．将这些性质对比列表如下：
 
  ![图片](/uploads/2025-02/660f1b.jpg)

## 对称性

单个指数函数没有对称性，底数满足一定条件的一对指数函数具有对称性。根据幂运算的性质，一对互为倒数的正实数 $a$ 和 $\frac{1}{a}$ ，当它们的指数互为相反数 $-n$ 和 $n$ 时，幂值相等：

$$
a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n
$$

由此可得：如果一对指数函数的底数互为倒数，那么当它们的横坐标互为相反数时，对应的函数值相等，它们的函数图像关于 $y$ 轴镜面对称。

设 $f(x)=a^x, g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x(a>0, a \neq 1)$ ，它们之间具有关系：

$$
f(-x)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}=g(x)
$$

$$
g(-x)=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=a^x=f(x)
$$

下面是画在同一坐标系中的指数函数 $f(x)=2^x$ 和 $f(x)=1 / 2^x$ ，注意观察它们图像间的对称性。

![图片](/uploads/2025-04/094234.jpg)

## 总结

根据$a$的不同，指数函数的图像以$1$为分界点，分为递增与递减。

![图片](/uploads/2023-08/480a23.jpg)

## 指数函数的大小

在高考里，比较两个指数函数的大小是必考题。下图里给出了底数和指数随$x$变化而变化的趋势。
因此，必须记住这张图里指数函数的变化规律。

(1) 定义域是实数集 $\mathbf{R}$.
(2) 值域是 $(0,+\infty)$, 因此, 对任何实数 $x$, 都有 $a^x>0$,也就是说函数图象一定在 $x$ 轴的上方.
(3) 函数图象一定过点 $(0,1)$.
(4)
当 $a>1$ 时, $y=a^x$ 是增函数;
当 $0<a<1$ 时, $y=a^x$ 是减函数.

![图片](/uploads/2023-08/50204f.jpg)

![图片](/uploads/2023-08/image_202308298848a84.png)

## 牛刀小试

**例题1**：

比较$0.8^{5.1}$和$1.3^2$的大小。

解：
$0.8^{5.1}<0.8^0=1$ , 参考上图,  $a<1$ 时，$x$越大 , $y$ 值越小， 因为指数大的反而小;

$1=1.3^ 0<1.3^2$ ， 参考上图,  $a>1$ 时，$x$越大 , $y$ 值越大，因为指数大的则 大;

所以 $0.8^{ 5.1} <1.3^{2} $.

**例题2**

已知 $5^5<8^4, 13^4<8^5$. 设 $a=\log _5 3, b=\log _8 5, c=\log _{13} 8$,  写出$a,b,c$大小的关系

答案： $a<b<c$

**例3**
已知实数 $a, b$ 满足 $\left(\frac{3}{7}\right)^a>\left(\frac{3}{7}\right)^b$, 试判断 $6^a$ 与 $6^b$ 的大小.
解 因为函数 $y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是减函数, 所以由 $\left(\frac{3}{7}\right)^a>\left(\frac{3}{7}\right)^b$可知 $a<b$.
又因为 $y=6^x$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是增函数, 所以

$$
6^a<6^b \text {. }
$$

###  函数图像

一些初等函数图像一定牢记于心，尤其是指数函数与对数函数图像的走势，如下图
  ![图片](/uploads/2024-04/a731f7.jpg)
注意这里面的 $a, b, c, d$ 指的是指数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$.你要是觉得不妥,或者不相信，你可以自己画条直线看一下，稍加计算便可得出结论.

![图片](/uploads/2024-04/ac92ff.jpg)
 上面的 $a, b, c, d$ 指的是对数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$ ，如果你觉得不相信，自己在 $(1,+\infty)$ 画一条坚线就行了，自我判别一下.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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