最后更新: 2025-04-14 19:18 查看: 1210 次反馈同步训练

指数函数的图像

## 指数函数的图像

指数函数 $y=a^x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的性质，归根结底源于幂运算的性质。例如，由于任意非零数的零次幂为 1 ，即 $a^0=1$ ，可见任意指数函数的图象都经过点 $(0, ~ 1)$ ；由于正数的任意次幂仍为正，所以任意指数函数的图象都在 $x$ 轴上方。由前述幂运算的基本不等式可得：

对任意的正数 $a>1$ 和两数 $r>s$ ，有 $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}>1$ ，即 $a^r>a^s$ ．
对任意的正数 $a<1$ 和两数 $r>s$ ，有 $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}<1$ ，即 $a^r<a^s$ ．
可见：当 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；
当 $0<a<1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减。
当 $a>1$ 时，设 $a=1+h$ ，可以证明 $a^n=(1+h)^n>n h$ 。这表明只要 $x$ 足够大则 $a^x$ 可以大于任意给定的正数，而 $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ 则可以小于任意给定的正数。由此可得指数函数的值域为 $(0,+\infty)$ ．

`例` 作出指数函数 $y=2^x$ 和 $y=10^x$ 的图象．
解：如图
 ![图片](/uploads/2025-02/6789a5.jpg)
 
 指数函数 $y=2^x, y=10^x$ 的底数都大于 1．一般地，当底数 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 的图象走势类似于图4．2－3．

从图象看指数函数 $y=a^x(a>1)$ 的性质，和理性认识相符，例如：
（1）图象总在 $x$ 轴上方，且图象与 $x$ 轴永不相交，值域是 $(0,+\infty)$ ．
（2）图象恒过点 $(0,1)$ ，用式子表示就是 $a^0=1$ 。
（3）函数是区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的增函数．

当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥想象力的结果。

如果底数 $a \in(0,1)$ ，则它的倒数 $\frac{1}{a}>1$ ．若点 $P(x, y)$ 在函数 $y=a^x(0<a<1)$的图象上，由于 $a^x=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$ ，则点 $P(x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $Q(-x, y)$ 一定在函数 $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\left(\frac{1}{a}>1\right)$ 的图象上，反之亦成立．所以函数 $y=a^x(0<a<1)$ 与函数$y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\left(\frac{1}{a}>1\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称。例如 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ 与 $y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$ 的图象关于 $y$ 轴对称，如图 4．2－4 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/1f46bc.jpg)
 
 函数 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$ 的图象可以看成指数函数 $y=a^x \quad(0<a<1)$ 的代表．与 $a>1$ 时的区别，仅仅在于递增和递减的不同．其他如定义域与值域，恒过点 $(0,1)$ 等都是一样的．将这些性质对比列表如下：
 
  ![图片](/uploads/2025-02/660f1b.jpg)

## 对称性

单个指数函数没有对称性，底数满足一定条件的一对指数函数具有对称性。根据幂运算的性质，一对互为倒数的正实数 $a$ 和 $\frac{1}{a}$ ，当它们的指数互为相反数 $-n$ 和 $n$ 时，幂值相等：

$$
a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n
$$

由此可得：如果一对指数函数的底数互为倒数，那么当它们的横坐标互为相反数时，对应的函数值相等，它们的函数图像关于 $y$ 轴镜面对称。

设 $f(x)=a^x, g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x(a>0, a \neq 1)$ ，它们之间具有关系：

$$
f(

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：指数函数

下一篇：对数函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)