最后更新: 2025-07-07 14:44 查看: 377 次反馈同步训练

指数函数

## 指数函数的概念

> 幂函数和指数函数是比较相似的概念，幂函数是指 $y=x^a $， 指数函数是指 $y=a^x$ 可以看到，两者位置正好相反，很容易混淆。

形如 $ y=a^x$ 函数被称作指数函数。其中 $a$ 是底数，而 $x$ 是指数。
要求  $a$ 是常数, $a>0$ 且 $a \neq 1$ . 这是因为这一要求，成了考试中，非常重要的一个考点。

`例` 函数 $y=a^x-\frac{1}{a}(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是
 
 ![图片](/uploads/2025-05/ac2a4e.jpg)
 
 解：当 $a>1$ 时， $0<\frac{1}{a}<1$ ，函数 $y=a^x$ 的图象为过点 $(0,1)$ 的上升的曲线，函数 $y=a^x-\frac{1}{a}$ 的图象由函数 $y=a^x$ 的图象向下平移 $\frac{1}{a}$ 个单位长度可得，故 A， B 错误；

当 $0<a<1$ 时，$\frac{1}{a}>1$ ，函数 $y=a^x$ 的图象为过点 $(0,1)$ 的下降的曲线，函数 $y=a^x-\frac{1}{a}$ 的图象由函数 $y=a^x$ 的图象向下平移 $\frac{1}{a}$ 个单位长度可得，故 D正确，C 错误．

## 指数函数底为什么底不能为1
从数学上看，如果底为1
1. **函数退化为常数函数**  
   当底数 $ a = 1$ 时，无论指数 $ x$ 取何值，函数值恒为1，即 $ y = 1^x = 1$。此时函数退化为常数函数，其图像是一条平行于x轴的直线，既无单调性（既不递增也不递减），也无值域变化。这种特性与指数函数研究“变量间动态关系”的初衷相悖。

2. **破坏指数运算的动态特征**  
   指数函数的核心意义在于通过底数和指数的变化反映增长或衰减规律。例如，$a > 1 $ 时函数递增，$ 0 < a < 1 $ 时函数递减。若 $ a = 1 $，这些动态特征完全消失，无法体现指数运算的灵活性。
 
## 指数函数底为什么底不能为0
从数学上看，如果底为0
1. **零的负数次幂无意义**  
   当底数 $ a = 0 $ 时，若指数 $ x $ 为负数（如 $ x = -1 $），则表达式 $ 0^{-1} $ 等价于 $ \frac{1}{0} $，这在实数范围内是未定义的（分母为零）。类似地，$ x = 0 $ 时 $ 0^0 $ 也是未定义的（数学中视为不定型）。

2. **无法构成指数-对数体系**  
   指数函数与对数函数互为反函数。若 $ a = 0 $，对数函数 $ \log_0 x $ 无定义（因 $ 0^y = 0 $ 对所有 $ y $ 成立，无法唯一确定 $ y $），导致数学体系的逻辑断裂。

## 指数函数底为什么底不能为负数
从数学上看，如果底为负数

1. **分数指数导致定义域断裂**  
   当底数$a < 0 $ 时， 如$(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2} $），这在实数范围内无定义。很多性质无法推广。

2. **破坏图像的完整性**  
    假如底数允许复数，例如取 $a =-2 $ 时，$(-2)^2 = 4$ , $x = 3 $ 时，$(-2)^3= -8$  这种函数图像跳来跳去，破坏了图形的连续性与完整性，无法进行系统研究。

`例`  已知指数函数 $f(x)=\left(2 a^2-5 a+3\right) a^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：幂函数的图像

下一篇：指数函数的图像

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)