最后更新: 2024-12-10 11:13 ● 参与者查看: 46 次纠错分享参与项目词条搜索

n次算术根

为了进一步把指数概念从整数范围扩充到有理数范围, 我们先介绍一下 $n$次算术根及其运算性质。

定义
设 $a$ 是一个实数, $n$ 是正整数, 如果存在着实数 $x$, 使得

$$
x^n=a
$$

那么, $x$ 就叫做 $a$ 的 $n$ 次方根, $a$ 叫做被开方数, $n$ 叫做根指数.

由方根的定义推知：
1. 如果 $x_1$ 是正数 $a$ 的偶次方根, 那么 $x_1$ 也是 $a$ 的偶次方根.

因为如果存在 $x_1$ 使得 $x_1^n=a(>0)$, 那么, $\left(-x_1\right)^n=\left(x_1\right)^n=a(n$ 为偶数), 即 $x_1$ 和 $-x_1$ 都是正数 $a$ 的偶次方根. 比如, $x^4=16$, 则 $x= \pm 2$都是 16 的四次方根。
2. 负数的偶次方根不存在, 这是因为任何数的偶次方都是非负数的缘故.
3. 不等于零的任何数的奇次方根的符号与被开方数的符号相同.

因为如果被开方数是负数 $-a(a>0)$, 那么它的奇次方根, 就不能是 0 或正数，由于 0 的任何奇次方是 0 ，正数的任何奇次方是正数，这就说明负数的奇次方根应该是负数；同样说明正数的奇次方根应该是正数.
4. 0 的方根是 0 .

定理
如果 $a>0$, 方程 $x^n=a$ 存在唯一的正实数根。

为明确起见，我们把这个正实数方根叫做 $a$ 的算术根，下面给出它的定义和记法.

定义
如果 $a$ 是正实数，那么 $a$ 的正的 $n$ 次方根叫做 $a$ 的 $n$ 次算术根，而零也叫零的 $n$ 次算术根，记为 $\sqrt[n]{a} . a$ 的算术平方根用不带根指数的符号 $\sqrt{n}$ 表示。 $\sqrt[1]{a}$ 这个表示 $a$ 的符号，我们不用。

例如： $2^6=32,2$ 叫做 32 的 5 次方根，也是 32 的 5 次算术根，因此 $\sqrt[5]{32}=2 ;( \pm 2)^4=16,2$ 和 $(-2)$ 都是 16 的 4 次方根，其中 2 是 16 的 4 次算术根，因此 $\sqrt[4]{16}=2 ;(-2)$ 不是 16 的 4 次算术根。因此 $\sqrt[4]{16} \neq-2$ ，但 -2 可写成 $-\sqrt[4]{16} .(-3)^3=-27,-3$ 叫做 -27 的 3 次方根，但不是算术根。有的课本也用符号 $\sqrt[n]{a} \quad(a<0, n$ 是奇数）表示负数的奇次方根，例如 $\sqrt[3]{-27}=-3$ 。但是负数的奇次方根总可以用对应的算术根表示出来，例如 $\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$ ，一般地， $\sqrt[2 n+1]{-a}=-\sqrt[2 n+1]{a} \quad(a>0)$ 。

请注意以下几点：
1. 算术根的概念含有两个条件：被开方数是非负的；算术根只代表方根中的

非负值. 以后在实数范围内, 符号 $\sqrt[n]{a}(a>0)$ 只代表算术根, 因此, 正数 $a$ 的偶次方根的负值用 $-\sqrt[n]{a}$ 表示。
2. 在等式 $x^n=a$ 中, 已知 $x$ 和 $n$ 求 $a$ 的过程叫做乘方运算. 反过来, 已知 $a$ 和 $n$ 求 $x$ 的过程叫做开方运算，乘方运算和开方运算互为逆运算，由于当 $a \geq 0$ 时， $\sqrt[n]{a}$ 是非负值，因此对于一切大于 1 的正整数 $n$ 都有：

$$
\begin{aligned}
(\sqrt[n]{a})^n & =a \\
\sqrt[n]{a^n} & =a
\end{aligned}
$$

事实上，设 $\sqrt[n]{a}=x$ ，按定义， $x^n=a$ ，所以 $(\sqrt[n]{a})^n=a$ 。
在 $a<0$ 的场合，可以验知：当 $n$ 是奇数时，等式（1.1）、（1.2）对于负数的奇次方根仍保持；而当 $n$ 是偶数时，等式（1.1）无意义，而（1.2）的右端是 $|a|$, 不是 $a$, 即 $a=|a|$, 这是因为算术根只代表非负数的缘故.
例如: $\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt[5]{243}=\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{(-3)^3}+\sqrt[5]{3^5}=2-3+3=2$
3. 符号 $\sqrt[n]{ }$ 叫做 $n$ 次根号，如果根号下是一个算式，例如 $\sqrt{1-a}, \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$等等，我们称它为根式。当根号下的算式的值不为负数时，它的 $n$ 次算术根才有意义。
例如: $\sqrt{(a-2)^2}=\left\{\begin{array}{ll}a-2 & a \geq 2 \\ 2-a & a<2\end{array}, \quad \sqrt{(1-a)}\right.$ 在 $a \leq 1$ 的情形下有意义下面我们介绍 $n$ 次算术根的性质.

性质 1：乘积的开方法则
设 $n$ 为正整数， $a, b$ 为正实数，那么

$$
\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
$$

证明：因为 $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n \cdot(\sqrt[n]{b})^n=a b$
按方根定义， $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ 是 $a b$ 的 $n$ 次方根，又因为 $a, b$ 是正数，当然积 $a b$仍是正数，且算术根的积 $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ 也是正数，这就是说， $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ 是正数 $a b$ 的 $n$ 次算术根；另一方面， $a b$ 的 $n$ 次算术根是 $\sqrt[n]{a b}$ ，根据 $a b$ 的 $n$ 次算术根的唯一性得到

$$
\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
$$

推论

$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}=\sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdots \sqrt[n]{a_n}
$$

例如：

$$
\begin{aligned}
\sqrt[3]{60 \times 18 \times 25} & =\sqrt[3]{\left(2^2 \times 3 \times 5\right)\left(2 \times 3^2\right)\left(5^2\right)} \\
& =\sqrt[3]{2^3 \times 3^3 \times 5^3} \\
& =2 \times 3 \times 5=30
\end{aligned}
$$

性质 2：蕞的开方法则
设 $m, n$ 是正整数, $a>0$, 那么, $\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$.

证明：由性质1的推论得，

$$
\sqrt[n]{a^m}=\underbrace{\sqrt[n]{a \cdot a \cdots a}}_{m \text { 个 }}=\underbrace{\sqrt[n]{a} \cdots \sqrt[n]{a}}_{m \text { 个 }}=(\sqrt[n]{a})^m
$$

性质3：商的开方法则
设 $n$ 为正整数, $a, b>0$, 那么,

$$
\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
$$

证明: $\because\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n=\frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}=\frac{a}{b}$
又 $\because \quad a>0, \quad b>0, \quad \frac{a}{b}>0, \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}>0$
$\therefore \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ 是 $\frac{a}{b}$ 的 $n$ 次算术根
$\therefore \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
性质4：根式的开方法则
设 $m, n$ 是正整数, $a>0$, 那么,

$$
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a}
$$

证明: $\because(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^{m n}=\left[(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^m\right]^n=(\sqrt[n]{a})^n=a$
又 $\because a>0, \quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}>0$
$\therefore \sqrt[n]{a}$ 是 $a$ 的 $m n$ 次算术根，
$\therefore \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a}$
性质 5：幂指数与根指数相约法则
设 $m, n, k$ 为正整数, $a>0$, 那么,

$$
\sqrt[n k]{a^{m k}}=\sqrt[n]{a^m}
$$

证明: $\because\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{n k}=\left[\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^n\right]^k=\left(a^m\right)^k=a^{m k}$
又 $\because a>0, \quad \sqrt[n]{a^m}>0, \quad a^{m k}>0$
$\therefore \sqrt[n]{a^m}$ 是 $a^{m k}$ 的 $n k$ 次算术根,
$\therefore \quad \sqrt[n k]{a^{m k}}=\sqrt[n]{a^m}$
最后强调，这些性质是在 $a>0$ 的前提下成立的，对于 $a<0$ ，有些根式也许仍有意义，但法则就不适用了，例如，性质5:

设 $a=-8$, 那么, $\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$, 而 $\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$, 因此, $\sqrt[6]{(-8)^2} \neq \sqrt[3]{-8}$

例1.6 化简下列各式：
1. $\sqrt[4]{25 x^2 y^2} \quad(x, y \geq 0)$
2. $\sqrt[6]{5^4 a^4 b^2} \quad(a, b \geq 0)$
3. $\sqrt{3 x^{2 a+2}} \quad(x \geq 0)$
4. $\sqrt[6]{27(u+v)^{18}} \quad(u, v \geq 0)$
5. $(a-b) \sqrt{\frac{a^2+a b}{a^2-2 a b+b^2}} \quad(a, b>0)$
6. $\sqrt[3]{16 \sqrt{2}}$
7. $\sqrt[4]{4 x^6} \quad(x \in R )$

解:
1. $\sqrt[4]{25 x^2 y^4}=\sqrt[4]{\left(5 x y^2\right)^2}=\sqrt{5 x y^2}$
2. $\sqrt[6]{5^4 a^4 b^2}=\sqrt[6]{\left(5^2 a^2 b\right)^2}=\sqrt[3]{5^2 a^2 b}=\sqrt[3]{25 a^2 b}$
3. $\sqrt{3 x^{2 n+2}}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(x^{n+1}\right)^2}=\sqrt{3} x^{n+1}$
4.

$$
\begin{aligned}
\sqrt[6]{27(u+v)^{18}} & =\sqrt[6]{3^3\left[(u+v)^6\right]^3} \\
& =\sqrt[6]{\left[3(u+v)^6\right]^3}=\sqrt{3(u+v)^6} \\
& =\sqrt{3} \sqrt{(u+v)^6}=\sqrt{3}(u+v)^3
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
(a-b) \sqrt{\frac{a^2+a b}{a^2-2 a b+b^2}} & =(a-b) \frac{\sqrt{a^2+a b}}{\sqrt{(a-b)^2}} \\
& =(a-b) \frac{\sqrt{a(a+b)}}{|a-b|} \\
& = \begin{cases}\sqrt{a(a+b)}, & a>b>0 \\
-\sqrt{a(a+b)}, & b>a>0\end{cases}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\sqrt[3]{16 \sqrt{2}} & =\sqrt[3]{\sqrt{16^2} \cdot \sqrt{2}} \\
& =\sqrt[3]{\sqrt{16^2 \cdot 2}}=\sqrt[6]{16^2 \cdot 2} \\
& =\sqrt[6]{2^{8 \cdot 2}}=\sqrt[6]{2^9}=\sqrt{2^3}=2 \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\sqrt[4]{4 x^6} & =\sqrt[4]{2^2|x|^6}=\sqrt{2|x|^3} \\
& =\sqrt{2 \cdot|x|^2 \cdot|x|}=\sqrt{2}|x| \sqrt{|x|} \\
& = \begin{cases}\sqrt{2} x \sqrt{x}, & x \geq 0 \\
-\sqrt{2} x \sqrt{-x}, & x<0\end{cases}
\end{aligned}
$$

例1.7 把 $\sqrt{2}, \sqrt[3]{-3}, \sqrt[4]{4}$ 化成同次式（指数相同的根式叫做同次根式）
解： $\because \quad \sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}, \quad \sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$
$\therefore$ 只需要考虑将 $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}$ 化成同次根式

$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} & =\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8} \\
\sqrt[3]{-3} & =-\sqrt[3]{3}=-\sqrt[6]{3^2}=-\sqrt[6]{9} \\
\sqrt[4]{4} & =\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}
\end{aligned}
$$

上一篇：指数概念普遍化

下一篇：最简根式和同类根式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)