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高中数学
第四章 幂函数、指数与对数
对数的运算法则
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2025-02-13 16:27
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对数的运算法则
## 对数运算法则 如果 $a>0, a \neq 1, M>0, N>0$, 有 $ ① \log _a(M N)=\log _a M+\log _a N $ $ ② \log _a \frac{M}{N}=\log _a M-\log _a N $ $ ③ \log _a M^n=n \log _a M(n \in R) $ $ ④ a^{\log _a M}=M$ > 在第四个推论里，后续在《高等数学》里会经常使用，如果$a=e$，就可以得到 $e^{lnM}=M$ 这是一个常用的技巧 下面给出简单的证明。 `例`求证：$\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N$. 证明： 设 $a^\alpha=M>0, a^\beta=N>0$, 则 $\log _a M=\alpha, \log _a N=\beta$.由 $a^{\alpha+\beta}=a^\alpha a^\beta=M N$ 可知 $\log _a(M N)=\alpha+\beta$, 代人 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值, 有 $\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N$. 证毕 `例` 求证 $\log _a M^n=n \log _a M(n \in R ) ;$ 设 $\log _a M=p$ ，那么 $a^p=M, M^n=\left(a^p\right)^n=a^{p n}$ ． 改写为对数形式是 $n p=\log _a M^n$ ， 即 $$ \log _a M^n=n \log _a M $$ 若用对数的基本恒等式则为 $$ \boxed{ \log _a
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