最后更新: 2025-04-14 19:21 查看: 1495 次反馈同步训练

对数函数的图像

## 对数函数的图像与性质

由于指数函数是严格单调的，等式 $x=a^y$ 中不同的 $y$ 对应于不同的 $x$ ，即每个 $x$对应的 $y$ 是确定的，从而对数运算 $y=\log _a x(x>0, ~ a>0$ 且 $a \neq 1)$ 确定了一个函数，叫作（以 $a$ 为底的）对数函数，它描述的数量关系是 $x=a^y$ 。此等式中把 $x$ 和 $y$ 互换位置就成了指数函数 $y=a^x$ 的表达式，因此称指数函数 $y=a^x$ 和对数函数 $y=\log _a x$互为反函数。这时，指数函数的定义域 $(-\infty, ~+\infty)$ 成了对数函数的值域，指数函数的值域 $(0,+\infty)$ 是对数函数的定义域。

要找寻函数 $y=f(x)$ 的反函数，可以先把 $x$ 和 $y$ 换位，写成 $x=f(y)$ ，再把 $y$解出来，表示成 $y=g(x)$ 的形式。如果这种形式是唯一确定的，就得到了 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 。既然 $y=g(x)$ 是从 $x=f(y)$ 解出来的，必有 $f(g(x))=x$ 。

既然对数函数 $y=\log _a x$ 描述的数量关系 $x=a^y$ 和指数函数表达式 $y=a^x$ 的区别不过是把 $x$ 和 $y$ 换位，可见点 $(x, y)$ 在 $y=\log _a x$ 的图象上的充要条件，就是点 $(y, x)$ 在 $y=a^x$ 的图象上．从几何上看，两者的图象关于直线 $y=x$ 对称。把 $y=a^x$的图象以直线 $y=x$ 为对称轴做反射，就得到了 $y=\log _a x$ 的图象．如图 4．3－1，先

![图片](/uploads/2025-02/9aa297.jpg)
 
 作出 $y=2^x$ 的图象，以 $y$ 轴为对称轴做反射得到 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象；再以直线 $y=x$为对称轴做反射，$y=2^x$ 的图象反射后成为 $y=\log _2 x$ 的图象，而 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象反射后成为 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的图象。

一般地，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互为反函数，则它们的图象关于直线 $y=x$ 轴对称．两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减。因而由指数函数的增减性可得到对数函数的增减性．下面将这两类函数的性质对比列表如下：

![图片](/uploads/2025-02/bfdfb3.jpg)
 
 ## 对称性
 单个的对数函数不具有对称性，底数满足一定条件的一对对数函数具有对称性。

对于对数函数 $f(x)=\log _a x$ 与 $g(x)=\log _{\frac{1}{a}} x$ ，可得：

$$
f(x)+g(x)=\log _a x+\log _{\frac{1}{a}} x=\log _a x+\left(-\log _a x\right)=0
$$

即：如果两个对数函数的底数互为倒数，那么它们在相同 $x$ 处的函数值互为相反数，它们的函数图像关于 $x$ 轴对称。

从上图中可以观察到 $f(x)=\log _2 x$ 与 $f(x)=\log _{0.5} x$ 的图像关于 $x$ 轴对称。
 
 下面是画在同一坐标系中的对数函数 $f(x)=\log _2 x$ 和 $f(x)=\log _{0.5} x$ ，注意观察它们的单调性。
 
  ![图片](/uploads/2025-04/fa6f8e.jpg)
 
 
 `例` 比较下列各组中两个数的大小：
（1） $\log _2 7.6$ 和 $\log _2 8.7$ ；
（2） $\log _{\frac{1}{2}} 7.6$ 和 $\log _{\frac{1}{2}} 8.7$ ；
（3） $\log _a 7.6$ 和 $\log _a 8.7(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ；
（4） $\log _{0.8} 2$ 和 $2^{0.8}$ ．

解（1）因为函数 $y=\log _2 x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，且 $7.6<8.7$ ，所以

$$
\log _2 7.6<\log _2 8.7
$$

（2）因为函数 $y=\

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