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高中数学
第四章 幂函数、指数与对数
对数恒等式
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2025-02-13 16:24
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对数恒等式
## 对数恒等式 对数的定义为：如果 $a^b=N(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ，那么 $b$ 叫作以 $a$ 为底，（正）数 $N$ 的对数，记作 $b=\log _a N$ ．这里，$a$ 叫作对数的底数，$N$叫作对数的真数． 把对数定义中的 $b=\log _a N$ 代入 $a^b=N$ ，得到 $$ \boxed{ a^{\log _a N}=N(N>0, a>0 \text { 且 } a \neq 1) ; ...(1) } $$ 把 $N=a^b$ 代入 $b=\log _a N$ ，得到 $$ \boxed{ b=\log _a a^b \quad(b \in R , a>0 \text { 且 } a \neq 1) ....(2) } $$ 上述两个等式叫作**对数的基本恒等式**．用它们做有关对数的推理或计算比较方便．例如，由基本恒等式立刻知道： $$ \log _a a=\log _a a^1=1, \quad \log _a 1=\log _a a^0=0 $$ 即底的对数为 1,1 的对数为 0 ． 在(1)式里，如果令$a=e$ 则有 $$ \boxed{ e^{\ln
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