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第五章 指数对数与幂函数
对数恒等式
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更新:
2025-02-13 16:24
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对数恒等式
## 对数恒等式 对数的定义为:如果 $a^b=N(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ,那么 $b$ 叫作以 $a$ 为底,(正)数 $N$ 的对数,记作 $b=\log _a N$ .这里,$a$ 叫作对数的底数,$N$叫作对数的真数. 把对数定义中的 $b=\log _a N$ 代入 $a^b=N$ ,得到 $$ \boxed{ a^{\log _a N}=N(N>0, a>0 \text { 且 } a \neq 1) ; ...(1) } $$ 把 $N=a^b$ 代入 $b=\log _a N$ ,得到 $$ \boxed{ b=\log _a a^b \quad(b \in R , a>0 \text { 且 } a \neq 1) ....(2) } $$ 上述两个等式叫作**对数的基本恒等式**.用它们做有关对数的推理或计算比较方便.例如,由基本恒等式立刻知道: $$ \log _a a=\log _a a^1=1, \quad \log _a 1=\log _a a^0=0 $$ 即底的对数为 1,1 的对数为 0 . 在(1)式里,如果令$a=e$ 则有 $$ \boxed{ e^{\ln N}=N . ...(3) } $$ (3)式左右对调就可以得到 $$ \boxed{ N=e^{\ln N} . ...(4) } $$ (4)表明,任何一个数都可以写成$e$的指数形式。 `例` 求下列各式的值: (1) $\log _2 \frac{1}{2}$ ; (2) $\log _{0.6} 1$ ; (3) $2^{\log _2 3-2}$ ; (4) $2^{\log _2(3+2)}$ . 解(1) $\log _2 \frac{1}{2}=\log _2 2^{-1}=-1$ ; (2) $\log _{0.6} 1=\log _{0.6} 0.6^0=0$ ; (3) $2^{\log _2 3-2}=2^{\log _2 3} \cdot 2^{-2}=\frac{2^{\log _2 3}}{2^2}=\frac{3}{4}$ ; (4) $2^{\log _2(3+2)}=2^{\log _2 5}=5$ .
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