最后更新: 2025-02-13 16:35 查看: 1194 次反馈同步训练

换底公式

## 换底公式

$$
\log _a b=\frac{\log _c b}{\log _c a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)
$$

**证明：**

若有对数 $\log _a b=x$ ，则 $a^x=b$ ，且

$$
a=\sqrt[x]{b} .
$$

于是

$$
c^{\log _c a}=\sqrt[x]{b}, c^{x \log _c a}=b .
$$

两边取以c为底的对数得 $x \log _c a=\log _c b ， x=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ ，即 $\log _a b=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ 。
证毕。

`例`求证：

$$
\log _{a^t} b^s=\frac{s}{t} \log _a b,
$$

其中 $a>0$ 且 $a \neq 1, b>0, s \in \mathbf{R}, t \in \mathbf{R}$ 且 $t \neq 0$.

证明

$\log _{a^t} b^s=\frac{\ln b^s}{\ln a^t}=\frac{s \ln b}{t \ln a}=\frac{s}{t} \times \frac{\ln b}{\ln a}=\frac{s}{t} \log _a b$.

`例` 证明  $\log _a b \cdot \log _b a=1$ 
证明：由换底公式得，

$$
\log _a b=\frac{\log _b b}{\log _b a}=\frac{1}{\log _b a},
$$

因此

$$
\log _a b \cdot \log _b a=1
$$

`例` 已知 $\log _{10} 2=a, \log _{10} 7=b$, 求 $\log _8 9.8$.
解:

$$
\begin{aligned}
\log _8 9.8 & =\frac{\log _{10} 9.8}{\log _{10} 8}=\frac{\log _{10} \frac{2 \times 7^2}{10}}{\log _{10} 2^3} \\
& =\frac{\log _{10} 2+2 \log _{10} 7-\log _{10} 10}{3 \log _{10} 2} \\
& =\frac{a+2 b-1}{3 a}
\end{aligned}
$$

`例` 已知 $y=\frac{(a-b)^3 \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{(a+b)^2 d^3}}$, 求 $\log _c y$
解:

$$
\begin{aligned}
\log _c y & =\log _c \frac{(a-b)^3 \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{(a+b)^2 d^3}} \\
& =\log _c(a-b)^3 \cdot \sqrt[3]{c}-\log _c \sqrt[5]{(a+b)^2 d^3} \\
& =\log _c(a-b)^3+\log _c \sqrt[3]{c}-\frac{1}{5} \log _c(a+b)^2 d^3 \\
& =3 \log _c(a-b)+\frac{1}{3} \log

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