最后更新: 2024-12-10 11:15 ● 参与者查看: 22 次纠错分享参与项目词条搜索

最简根式和同类根式

根式作运算, 计算结果用根式表示时, 根式应为最简根式, 最简根式指:
1. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数;
2. 根号内的式子不含分母;
3. 根指数与被开方数的指数互质.

把根式化为最简根式的方法是:
1. 移因式到根号外, 例如:

$$
\sqrt[n]{a^n b}=\sqrt[n]{a^n} \cdot \sqrt[n]{b}=a \sqrt[n]{b} \quad(a \geq 0)
$$

2. 移因式到根号内，例如：

$$
a \sqrt[3]{\frac{1}{a^2}}=\sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{a^2}}=\sqrt[3]{\frac{a^3}{a^2}}=\sqrt[3]{a}(a>0)
$$

3. 化去根号内式子的分母, 例如
(a) 如果 $a b>0$, 那么 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a b}{b^2}}=\frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{b^2}}=\frac{\sqrt{a b}}{|b|}$
(b) 如果 $a>0, b>0$, 且 $n>m$, 那么

$$
\sqrt[n]{\frac{a}{b^m}}=\sqrt[n]{\frac{a b^{n-m}}{b^m b^{n-m}}}=\frac{\sqrt[n]{a b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\frac{\sqrt[n]{a b^{n-m}}}{b}
$$

4. 约去根指数与被开方数的指数的公因数, 例如,

$$
\sqrt[6]{8 x^3}=\sqrt[6]{(2 x)^3}=\sqrt{2 x} \quad(x>0)
$$

例1.8 化下面根式为最简根式：
1.

$$
\begin{aligned}
\frac{5 a^2}{7 b} \sqrt{\frac{49 b^3}{5 a}} & =\frac{5 a^2}{7 b} \sqrt{\frac{\left(7^2 b^2 b\right)(5 a)}{5^2 a^2}} \\
& =\frac{5 a^2}{7 b} \cdot \frac{7 b}{5 a} \sqrt{5 a b} \\
& =a \sqrt{5 a b} \quad(a>0, b>0)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{2 a^2}{3 b} \sqrt[3]{\frac{b^3}{a^4}-\frac{b^5}{a^6}} & =\frac{2 a^2}{3 b} \sqrt[3]{\frac{a^2 b^3-b^5}{a^6}} \\
& =\frac{2 a^2}{3 b} \sqrt[3]{\frac{b^3\left(a^2-b^2\right)}{a^6}} \\
& =\frac{2 a^2}{3 b} \cdot \frac{b}{a^2} \cdot \sqrt[3]{a^2-b^2} \\
& =\frac{2}{3} \sqrt[3]{a^2-b^2} \quad(a \neq 0, b>0)
\end{aligned}
$$
例 1.9 作下面根式的乘法和除法：
1.

$$
5 \sqrt[4]{2 a} \cdot \sqrt[4]{8 a^3}=5 \sqrt[4]{16 a^4}=5 \sqrt[4]{(2 a)^4}=5 \times 2 a=10 a \quad(a \geq 0)
$$

$$
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{4}{3}} & =\sqrt[4]{\left(\frac{3}{4}\right)^2} \cdot \sqrt[4]{\frac{4}{3}}=\sqrt[4]{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{4}{3}} \\
& =\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2^2}}=\sqrt[4]{\frac{3 \times 2^2}{2^4}}=\frac{\sqrt[4]{12}}{2}
\end{aligned}
$$

3. $\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{16 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=8 \sqrt{6}$
4. $\frac{5}{\sqrt[3]{4}}=\frac{5 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \sqrt[3]{2}}=\frac{5 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{5}{2} \sqrt[3]{2}$

几个根式化成最简根式后，如果根指数相同，根号内的式子也相同，这几个根式叫做同类根式。

例1.10 $\sqrt[3]{8 a x^3}$ 和 $\sqrt[6]{64 a^2 y^{12}}$ 是同类根式吗？
解：由于：

$$
\begin{aligned}
\sqrt[3]{8 a x^3} & =2 x \sqrt[3]{a} \\
\sqrt[6]{64 a^2 y^{12}} & =2 y^2 \sqrt[6]{a^2}=2 y^2 \sqrt[3]{a} \quad(x \geq 0, a \geq 0)
\end{aligned}
$$

$\therefore \sqrt[3]{8 a x^3}$ 和 $\sqrt[6]{64 a^2 y^{12}}$ 同类根式。
例1.11 $\sqrt{\frac{2 x}{3}}, \sqrt{\frac{6}{x}}, \sqrt{6 x}$ 是同类根式吗？
解：由于：

$$
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{2 x}{3}} & =\sqrt{\frac{2 x \cdot 3}{3 \cdot 3}}=\sqrt{\frac{6 x}{3^2}}=\frac{\sqrt{6 x}}{3}=\frac{1}{3} \sqrt{6 x} \\
\sqrt{\frac{6}{x}} & =\sqrt{\frac{6 x}{x^2}}=\frac{\sqrt{6 x}}{x}=\frac{1}{x} \sqrt{6 x}
\end{aligned}
$$

$\therefore \sqrt{\frac{2 x}{3}}, \sqrt{\frac{6}{x}}, \sqrt{6 x}$ 是同类根式.
根式相加减，就是把同类根式分别合并。
例1.12

$$
\begin{aligned}
& \frac{2}{3} x \sqrt{9 x}+6 x \sqrt{\frac{x}{4}}-x^2 \sqrt{\frac{1}{x}} \\
= & 2 x \sqrt{x}+3 x \sqrt{x}-x \sqrt{x} \\
= & 4 x \sqrt{x}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 例 } 1.13\\
&\begin{aligned}
& 15 \sqrt[3]{4}-3 \sqrt[3]{32}-16 \sqrt[3]{\frac{1}{16}}-\sqrt[3]{108} \\
= & 15 \sqrt[3]{4}-6 \sqrt[3]{4}-4 \sqrt[3]{4}-3 \sqrt[3]{4} \\
= & 2 \sqrt[3]{4}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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