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第五章 指数对数与幂函数
常用对数与自然对数
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2025-02-13 16:31
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常用对数与自然对数
## 常用对数与自然对数 对数运算随着底数的变化而变化，变化太多就不方便．把底数取定了，对计算和推理都有很大好处。 在没有计算机的年代，为了复杂计算的需要，引入了以 10 为底的**常用对数**，并且把 $\log _{10} N$ 记为 $\lg N$ 。 在数学研究中，常用以 $e(e=2.71828 \cdots)$ 为底的对数．这种对数叫作**自然对数**，并且把 $\log _{ e } N$ 记为 $\ln N$ 。 在历史上，经过不解的努力，人们建立了常用对数表和自然对数表． 现在，在计算机或计算器中，设置两个简单的程序，就能计算常用对数和自然对数。那么不是 10 或者 e作为底数的对数，怎样求值？对每个底数都作出一张对数表或在计算机里存个计算程序，既不必要，也不可能。如果能在不同底数的对数间进行转换就好了． ### 换底公式 最常用的对数换底公式是 $\log _a N=\frac{\lg N}{\lg a}$ 和 $\log _a N=\frac{\ln N}{\ln a}$ ，因为常用对数计算起来最方便，而自然对数最受数学家的青睐． `例` 已知 $\lg 2 \approx 0.3010$ ，求 $2^{100}$ 有多少位整数。 解 设 $x=2^{100}$ ，等号两边同取以 10 为底的对数，得 $$ \lg x=\lg 2^{100}=100 \lg 2 \approx 100 \times 0.3010=30.1, $$ 所以 $x=10^{30+0.1}=10^{30} \times 10^{0.1}$ ． 又 $10^0<10^{0.1}<10^1$ ，因此 $10^{30}<x<10^{31}$ ，这说明 $2^{100}$ 是一个三十一位数． 实际上， $$ 2^{100}=1267650600228229401496703205376 . $$ 这说明估计正确．
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