最后更新: 2025-12-04 05:32 查看: 734 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量、模、单位向量

在常用的数量问题中，我们用数去表达各种量，如重量、长度、面积、体积、密度等等；用加、减、乘、除运算的组合去表达各种量之间的关系（通称代数通性）．在代数中，我们已掌握了数系的基本性质（即交换律、结合律和分配律）．并熟知了代数学的基本精神在于有效地运用数系通性，对于各种类型的代数问题谋求通解（即以通性求通解）．现在我们要着手把几何学的讨论也推进到定量的层面，设法把空间结构有系统地代数化，数量化，这也就是本章所要详加讨论的课题——向量与向量运算．

> 向量在现代数学体系里，越来越重要，从三角函数、复数、立体几何到线性代数里的向量空间、人工智能等，都离不开对向量的研究，可以说，**向量已经成为数学基础中的基础**。

## 向量的基本概念
我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。
 既有大小又有方向的量我们称为**向量** （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“**标量**”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。
对应向量的大小也称为向量的**模** （也可以叫向量长度）；

> 对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做**矢量**，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$.
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我们知道, 位移可以用带箭头的线段 (即有向线段) 来直观地表示. 类似地, 我们也用有向线段来直观地表示向量, 其中有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的**始点** (或起点), 带箭头的端点称为向量的**终点**.

### 向量的表示
有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

### 相反向量
向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$.
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

### 零向量
始点和终点相同的向量称为**零向量**. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯

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