最后更新: 2025-05-21 21:17 查看: 391 次反馈同步训练

向量计算面积

## 向量计算面积
在 $\triangle A B C$ 中，设 $\overrightarrow{C A}=\vec{a}, \overrightarrow{C B}=\vec{b}$ ，记 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$ ．
 
（1）求证：$S=\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ ；
（2）设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ．求 证：$S=$ $\frac{1}{2}\left|x_1 y_2-x_2 y_1\right|$ ．

证明：（1）如图 
![图片](/uploads/2025-04/34b844.jpg)

设 $\angle C=\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\theta$ ．我们有 $S=$ $\frac{1}{2}|a||b| \sin \theta$ ，于是

$$
\begin{aligned}
S^2 & =\frac{1}{4}|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin ^2 \theta \\
& =\frac{1}{4}|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\left(1-\cos ^2 \theta\right) \\
& =\frac{1}{4}\left(|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \cos ^2 \theta\right) \\
& =\frac{1}{4}\left[|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2\right],
\end{aligned}
$$

所以 $S=\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ ．
（2）因为

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 & =\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right)-\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)^2 \\
& =x_1^2 y_2^2-2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1^2 \\
& =\left(x_1 y_2-x_2 y_1\right)^2,
\end{aligned}\\
&\text { 所以 } S=\frac{1}{2}\left|x_1 y_2-x_2 y_1\right| \text {. }
\end{aligned

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