最后更新: 2025-06-21 08:54 查看: 414 次反馈同步训练

剩余类及其运算

## 剩余类及其运算 
我们知道, 一个整数被正整数 $n$ 除后, 余数有 $n$ 种情形: $0,1,2,3, \cdots, n-1$, 它们彼此模 $n$ 不同余. 这表明, 每个整数恰与这 $n$ 个整数中某一个模 $n$ 同余.
这样一来, 按模 $n$ 是否同余对整数集进行分类, 我们可以将整数集分成 $n$ 个两两不相交的子集. 例如, 按模 6 是否同余可将整数集分成下面六个子集:

$$
\begin{aligned}
& \{\cdots,-12,-6,0,6,12, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-11,-5,1,7,13, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-10,-4,2,8,14, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-9,-3,3,9,15, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-8,-2,4,10,16, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-7,-1,5,11,17, \cdots\},
\end{aligned}
$$

它们分别是由与 $0,1,2,3,4,5$ 模 6 同余的整数构成的集合.

**我们把所有与整数 $a$ 模 $n$ 同余的整数构成的集合叫做模 $n$ 的一个剩余类, 记作 $[a]$,并把 $a$ 叫做剩余类 $[a]$ 的一个代表元.**

> 注意：我们约定剩余类记做[a]，而[x] 表示取整，不要混淆了

例如, 模 6 的不同剩余类有 6 个, 它们分别为 $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$; 模 2 的剩余类有 2 个: $[0],[1]$, 它们分别代表偶数集和奇数集.

需要指出的是, 对模 $n$ 的每个剩余类, 我们可以用不同的代表元表示. 如在模 6 的剩余类中, $[5]=[-1]=[11]$.
一般地, 我们有

$$
\boxed{
a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow[a]=[b] .
}
$$

事实上, 对任意 $c \in[a]$, 我们有 $a \equiv c(\bmod n)$. 若 $a \equiv b(\bmod n)$, 则 $c \equiv b(\bmod n)$, 从而 $c \in[b]$. 同理可证, 对任意 $c \in[b]$, 则 $c \in[a]$. 因此 $[a]=[b]$.
反过来的正确性是显而易见的.

## 剩余类运算
我们发现, 每个模 $n$ 的剩余类可以看作一个特殊的 “数”, 如同整数. 我们可以在这 $n$个 “数” 构成的集合中引人两种运算, 一种叫剩余类加法 (仍用 “+” 表示), 另一种叫剩余类乘法 (仍用 “.”表示, 但通常省略不写):
剩余类加法: $[a]+[b]=[a+b]$,
剩余类乘法: $[a][b]=[a b]$.

引进一种运算，自然要看它满足怎样的运算律．我们知道，模 5 的剩余类环为

$$
\{[0],[1],[2],[3],[4] ;+, \cdot\}
$$

根据剩余类加法运算和乘法运算的定义，填写下面的表格．

![图片](/uploads/2025-06/a3864b.jpg)
 你发现了什么？

我们知道，整数加法、乘法运算遵循交换律、结合律和分配律．由上面的探究，你是否发现了剩余类加法、乘法运算也遵循交换律、结合律和分配律？

另外，在模 $n$ 的剩余类环中，对任意剩余类 $[a]$ ，恒有

$$
\begin{aligned}
& {[a]+[0]=[0]+[a]=[a],} \\
& {[a][0]=[0][a]=[0],} \\
& {[a][1]

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：同余的性质

下一篇：剩余系

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)