最后更新: 2025-10-16 09:03 查看: 527 次纠错评论(0) 课件开VIP

剩余类及其运算

## 剩余类及其运算 
我们知道, 一个整数被正整数 $n$ 除后, 余数有 $n$ 种情形: $0,1,2,3, \cdots, n-1$, 它们彼此模 $n$ 不同余. 这表明, 每个整数恰与这 $n$ 个整数中某一个模 $n$ 同余.
这样一来, 按模 $n$ 是否同余对整数集进行分类, 我们可以将整数集分成 $n$ 个两两不相交的子集. 例如, 按模 6 是否同余可将整数集分成下面六个子集:

$$
\begin{aligned}
& \{\cdots,-12,-6,0,6,12, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-11,-5,1,7,13, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-10,-4,2,8,14, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-9,-3,3,9,15, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-8,-2,4,10,16, \cdots\}, \\
& \{\cdots,-7,-1,5,11,17, \cdots\},
\end{aligned}
$$

它们分别是由与 $0,1,2,3,4,5$ 模 6 同余的整数构成的集合.

**我们把所有与整数 $a$ 模 $n$ 同余的整数构成的集合叫做模 $n$ 的一个剩余类, 记作 $[a]$,并把 $a$ 叫做剩余类 $[a]$ 的一个代表元.**

> 注意：在数论里，我们约定剩余类代表元记做[a]，公倍数记做[a,b], 公约数记做(a,b), 而在数学其它学科里，[x] 表示取整，不要混淆了

例如, 模 6 的不同剩余类有 6 个, 它们分别为 $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$; 模 2 的剩余类有 2 个: $[0],[1]$, 它们分别代表偶数集和奇数集.

需要指出的是, 对模 $n$ 的每个剩余类, 我们可以用不同的代表元表示. 如在模 6 的剩余类中, $[5]=[-1]=[11]$.
一般地, 我们有

$$
\boxed{
a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow[a]=[b] .
}
$$

事实上, 对任意 $c \in[a]$, 我们有 $a \equiv c(\bmod n)$. 若 $a \equiv b(\bmod n)$, 则 $c \equiv b(\bmod n)$, 从而 $c \in[b]$. 同理可证, 对任意 $c \in[b]$, 则 $c \in[a]$. 因此 $[a]=[b]$.
反过来的正确性是显而易见的.

## 剩余类运算
我们发现, 每个模 $n$ 的剩余类可以看作一个特殊的 “数”, 如同整数. 我们可以在这 $n$个 “数” 构成的集合中引人两种运算, 一种叫剩余类加法 (仍用 “+” 表示), 另一种叫剩余类乘法 (仍用 “.”表示, 但通常省略不写):
剩余类加法: $[a]+[b]=[a+b]$,
剩余类乘法: $[a][b]=[a b]$.

引进一种运算，自然要看它满足怎样的运算律．我们知道，模 5 的剩余类环为

$$
\{[0],[1],[2],[3],[4] ;+, \cdot\}
$$

根据剩余类加法运算和乘法运算的定义，填写下面的表格．

![图片](/uploads/2025-06/a3864b.jpg)
 你发现了什么？

我们知道，整数加法、乘法运算遵循交换律、结合律和分配律．由上面的探究，你是否发现了剩余类加法、乘法运算也遵循交换律、结合律和分配律？

另外，在模 $n$ 的剩余类环中，对任意剩余类 $[a]$ ，恒有

$$
\begin{aligned}
& {[a]+[0]=[0]+[a]=[a],} \\
& {[a][0]=[0][a]=[0],} \\
& {[a][1]=[1][a]=[a] .}
\end{aligned}
$$

这样，［ 0 ］与［1］与整数集中的 0 与 1 具有同样的运算性质，我们把［0］与［1］分别叫做模 $n$的剩余类环的**零元**和**单位元**．

类比数集中的相反数和倒数，我们引人模 $n$ 的剩余类的负元和逆元的概念．
如果存在模 $n$ 的剩余类 $[b]$ ，使得

$$
[a]+[b]=[b]+[a]=[0],
$$

那么称 $[b]$ 为 $[a]$ 的**负元**  。
从模 5 的剩余类加法的运算表可以看出，模 5 的剩余类 $[a]$ 均存在负元．
相应地，如果存在剩余类 $[b]$ ，使得

$$
[a][b]=[b][a]=[1],
$$

那么称剩余类 $[a]$ **可逆**，并把 $[b]$ 叫做 $[a]$ 的**逆元** (类似倒数) ．

从模 5 的剩余类乘法的运算表可以看出，模 5 的剩余类环中每个非零元 $[a]$ 都存在逆元．

## 思考

是否模 $n$ 的剩余类中的每个非零元［ $a$ ］都存在逆元呢？
我们不妨看一下模 6 的剩余类环．由剩余类的乘法运算，填写下表：

![图片](/uploads/2025-06/75ce32.jpg)
 
 从表中可以发现，［2］，［3］，［4］与模 6 的剩余类环中任何其他元进行乘法运算都不等于［1］，也就是说，模 6 的剩余类环中，［2］，［3］，［4］不存在逆元．

那么，什么情况下，一个模 $n$ 的剩余类环中非零元 $[a]$ 都有逆元呢？
我们看下面的式子：
$[a][b]=[b][a]=[1] \Leftrightarrow[a b]=[b a]=[1] \Leftrightarrow a b=b a=1(\bmod n) \Leftrightarrow$ 存在整数 $t$ ，使得 $a b+n t=1$ ．

上式表明，若非零元 $[a]$ 有逆元，不妨设为 $[b]$ ，则存在整数 $t$ ，使得 $a b+n t=1$ ．而 $(a, n)|a,(a, n)| n$ ，故 $(a, n) \mid 1$ ，所以 $(a, n)=1$ ．

反过来，若 $(a, n)=1$ ，由最大公因数的性质，存在一对整数 $b, t$ ，使得

$$
a b+n t=1 .
$$

于是 $[a][b]=[b][a]=1$ ，即 $[b]$ 为非零元 $[a]$ 的逆元．

> 因此，非零元 $[a]$ 有逆元的充要条件是 $(a, n)=1$ ．

需要说明的是，在整数集中，乘法运算有一个重要特征：任意两个非零整数的乘积不等于零，我们把这个特征叫做无零因子．但是，对模 6 的剩余类乘法，不具备这个特征。从模 6 的剩余类乘法的运算表可以发现，$[2] \neq[0],[3] \neq[0]$ ，但是 $[2][3]=[0]$ ．这表明，模 6 的剩余类环是有零因子的．

从模 5 的剩余类乘法的运算表可以发现，模 5 的剩余类环无零因子．

## 本节总结
### 剩余类的作用

如果我们把整数想象成一个无限长的停车场，车位编号是 …,-4，-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …

现在管理员决定，按 **“除以 5 的余数”** 来划分停车区：

- **A 区**（余数 0）：车位 …, -5, 0, 5, 10, …
- **B 区**（余数 1）：车位 …, -4, 1, 6, 11, …
- **C 区**（余数 2）：车位 …, -3, 2, 7, 12, …
- **D 区**（余数 3）：车位 …, -2, 3, 8, 13, …
- **E 区**（余数 4）：车位 …, -1, 4, 9, 14, …

每个区就是一个**剩余类**。  
不管你停在哪一个车位（比如 1 号位或 6 号位），只要它在 B 区，它们就是“等价”的。所以，剩余类相当于对整数进行了分类。

> **剩余类就是把所有整数，按除以 m 的余数分成 m 个小组，每个小组里的数在“模 m 意义下”都看成一样的。**

### 剩余类的表示
在数学上，我们用方括号表示一个剩余类：

- [0] 表示所有除以 5 余 0 的整数（A 区）
- [1] 表示所有除以 5 余 1 的整数（B 区）
- …
- [4] 表示所有除以 5 余 4 的整数（E 区）

注意：**[1] 这个类，代表元是 1，但其实也包含 6, 11, -4, …**  
所以 [1] = [6] = [11]，它们是同一个剩余类。

`例`模 $ 3 $ 的剩余类为：

- $[0] = \{ \dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots \}$
- $[1] = \{ \dots, -5, -2, 1, 4, 7, \dots \}$
- $[2] = \{ \dots, -4, -1, 2, 5, 8, \dots \}$

### 剩余类的运算

我们可以定义剩余类之间的加法和乘法：

$$
[a] + [b] = [a + b]
$$
$$
[a] \cdot [b] = [a \cdot b]
$$

`例`模 5 的剩余类：
- $[0] = \{\dots, -10, -5, 0, 5, 10, \dots\}$
- $[1] = \{\dots, -9, -4, 1, 6, 11, \dots\}$
- $[2] = \{\dots, -8, -3, 2, 7, 12, \dots\}$
- $[3] = \{\dots, -7, -2, 3, 8, 13, \dots\}$
- $[4] = \{\dots, -6, -1, 4, 9, 14, \dots\}$

完全剩余系：$\{0,1,2,3,4\}$

加法例子：$[3] + [4] = [7] = [2]$（因为 $7 \bmod 5 = 2$）

乘法例子：$[2] \cdot [4] = [8] = [3]$

其他版本
【高等代数】同余式与剩余类

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