科数网
学习首页
题库
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
游客,
登录
注册
在线学习
数论
初等数论(高中版)
负元与逆元
最后
更新:
2023-11-09 18:42
●
参与者
查看:
255
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
负元与逆元
我们知道, 整数加法、乘法运算遵循交换律、结合律和分配律. 由上面的探究, 你是否发现了剩余类加法、乘法运算也遵循交换律、结合律和分配律? 另外, 在模 $n$ 的剩余类环中, 对任意剩余类 $[a]$, 恒有 $$ \begin{aligned} & {[a]+[0]=[0]+[a]=[a],} \\ & {[a][0]=[0][a]=[0],} \\ & {[a][1]=[1][a]=[a] .} \end{aligned} $$ 这样, $[0]$ 与 $[1]$ 与整数集中的 0 与 1 具有同样的运算性质, 我们把 $[0]$ 与 $[1]$ 分别叫做模 $n$的剩余类环的零元和单位元. 类比数集中的相反数和倒数, 我们引人模 $n$ 的剩余类的负元和逆元的概念. 如果存在模 $n$ 的剩余类 $[b]$, 使得 $$ [a]+[b]=[b]+[a]=[0], $$ 那么称 $[b]$ 为 $[a]$ 的负元 $\mathbf{0}$. 从模 5 的剩余类加法的运算表可以看出, 模 5 的剩余类 $[a]$ 均存在负元. 相应地, 如果存在剩余类 $[b]$, 使得 $$ [a][b]=[b][a]=[1], $$ 那么称剩余类 $[a]$ 可逆, 并把 $[b]$ 叫做 $[a]$ 的逆元 $\mathbf{8}$. 从模 5 的剩余类乘法的运算表可以看出, 模 5 的剩余类环中每个非零元 $[a]$ 都存在逆元. 是否模 $n$ 的剩余类中的每个非零元 $[a]$ 都存在逆元呢? 我们不妨看一下模 6 的剩余类环. 由剩余类的乘法运算, 填写下表: ![图片](/uploads/2023-11/image_20231109fe40c5c.png) 从表中可以发现, [2], [3], [4] 与模 6 的剩余类环中任何其他元进行乘法运算都不等于 $[1]$, 也就是说, 模 6 的剩余类环中, [2], [3], [4]不存在逆元. 那么, 什么情况下, 一个模 $n$ 的剩余类环中非零元 $[a]$ 都有逆元呢? 我们看下面的式子: $[a][b]=[b][a]=[1] \Leftrightarrow[a b]=[b a]=[1] \Leftrightarrow a b=b a \equiv 1(\bmod n) \Leftrightarrow$ 存在整数 $t$, 使得 $a b+n t=1$. 上式表明, 若非零元 $[a]$ 有逆元, 不妨设为 $[b]$, 则存在整数 $t$, 使得 $a b+n t=1$. 而 $(a, n)|a,(a, n)| n$, 故 $(a, n) \mid 1$, 所以 $(a, n)=1$. 反过来, 若 $(a, n)=1$, 由最大公因数的性质, 存在一对整数 $b, t$, 使得 $$ a b+n t=1 . $$ 于是 $[a][b]=[b][a]=1$, 即 $[b]$ 为非零元 $[a]$ 的逆元. 因此, 非零元 $[a]$ 有逆元的充要条件是 $(a, n)=1$. 需要说明的是, 在整数集中, 乘法运算有一个重要特征: 任意两个非零整数的乘积不等于零, 我们把这个特征叫做无零因子. 但是, 对模 6 的剩余类乘法, 不具备这个特征. 从模 6 的剩余类乘法的运算表可以发现, $[2] \neq[0],[3] \neq[0]$, 但是 $[2][3]=[0]$. 这表明, 模 6 的剩余类环是有零因子的. 从模 5 的剩余类乘法的运算表可以发现, 模 5 的剩余类环无零因子. 这一点与数的乘法运算有很大的区别. 你有什么体会?
上一篇:
剩余类及其运算
下一篇:
费马小定理与欧拉定理
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
如果本文对你有用,我们感觉很高兴, 随着规模的增长,我们需要更多资金支持, 欢迎您
打赏作者
索引
高中数学(教程)
高中数学(公式)
高等数学(教程)
高等数学(公式)
线性代数(教程)
线性代数(公式)
赞助商:
启明星会议室预约
题库
关于本站
广告赞助
科数网是专业专业的数学网站。