最后更新: 2023-11-09 18:42 查看: 362 次反馈刷题

负元与逆元

我们知道, 整数加法、乘法运算遵循交换律、结合律和分配律. 由上面的探究, 你是否发现了剩余类加法、乘法运算也遵循交换律、结合律和分配律?
另外, 在模 $n$ 的剩余类环中, 对任意剩余类 $[a]$, 恒有

$$
\begin{aligned}
& {[a]+[0]=[0]+[a]=[a],} \\
& {[a][0]=[0][a]=[0],} \\
& {[a][1]=[1][a]=[a] .}
\end{aligned}
$$

这样, $[0]$ 与 $[1]$ 与整数集中的 0 与 1 具有同样的运算性质, 我们把 $[0]$ 与 $[1]$ 分别叫做模 $n$的剩余类环的零元和单位元.
类比数集中的相反数和倒数, 我们引人模 $n$ 的剩余类的负元和逆元的概念.
如果存在模 $n$ 的剩余类 $[b]$, 使得

$$
[a]+[b]=[b]+[a]=[0],
$$

那么称 $[b]$ 为 $[a]$ 的负元 $\mathbf{0}$.
从模 5 的剩余类加法的运算表可以看出, 模 5 的剩余类 $[a]$ 均存在负元.
相应地, 如果存在剩余类 $[b]$, 使得

$$
[a][b]=[b][a]=[1],
$$

那么称剩余类 $[a]$ 可逆, 并把 $[b]$ 叫做 $[a]$ 的逆元 $\mathbf{8}$.
从模 5 的剩余类乘法的运算表可以看出, 模 5 的剩余类环中每个非零元 $[a]$ 都存在逆元.
是否模 $n$ 的剩余类中的每个非零元 $[a]$ 都存在逆元呢?
我们不妨看一下模 6 的剩余类环. 由剩余类的乘法运算, 填写下表:
![图片](/uploads/2023-11/image_20231109fe40c5c.png)
从表中可以发现, [2], [3], [4] 与模 6 的剩余类环中任何其他元进行乘法运算都不等于 $[1]$, 也就是说, 模 6 的剩余类环中, [2], [3], [4]不存在逆元.
那么, 什么情况下, 一个模 $n$ 的剩余类环中非零元 $[a]$ 都有逆元呢?
我们看下面的式子:
$[a][b]=[b][a]=[1] \Leftrightarrow[a b]=[b a]=[1] \Leftrightarrow a b=b a \equiv 1(\bmod n) \Leftrightarrow$ 存在整数 $t$, 使得 $a b+n t=1$.

上式表明, 若非零元 $[a]$ 有逆元, 不妨设为 $[b]$, 则存在整数 $t$, 使得 $a b+n t=1$. 而 $(a, n)|a,(a, n)| n$, 故 $(a, n) \mid 1$, 所以 $(a, n)=1$.
反过来, 若 $(a, n)=1$, 由最大公因数的性质, 存在一对整数 $b, t$, 使得

$$
a b+n t=1 .
$$

于是 $[a][b]=[b][a]=1$, 即 $[b]$ 为非零元 $[a]$ 的逆元.
因此, 非零元 $[a]$ 有逆元的充要条件是 $(a, n)=1$.
需要说明的是, 在整数集中, 乘法运算有一个重要特征: 任意两个非零整数的乘积不等于零, 我们把这个特征叫做无零因子. 但是, 对模 6 的剩余类乘法, 不具备这个特征. 从模 6 的剩余类乘法的运算表可以发现, $[2] \neq[0],[3] \neq[0]$, 但是 $[2][3]=[0]$. 这表明, 模 6 的剩余类环是有零因子的.
从模 5 的剩余类乘法的运算表可以发现, 模 5 的剩余类环无零因子.
这一点与数的乘法运算有很大的区别. 你有什么体会?

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