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初中数学
第十三篇 *数论初步
剩余系
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2025-06-21 09:20
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剩余系
## 剩余类 在同余式的运算中，两个同余数起的作用是一样的，可以把互相同余的这些数归于一类．由此引进剩余类的概念． 定义1 设 $m$ 为正整数，所有对 $m$ 同余的整数所组成的集合称为模 $m$ 的一个剩余类．由定义，全体整数对模 $m$ 可分为 $m$ 个互不相交的剩余类 $K_0, K_1, \cdots, K_{m-1}$ ，其中 $$ K_r=\{q m+r\}, q=0, \pm 1, \pm 2, \cdots, 0 \leqslant r < m . $$ 例如，对模 3，其到余类有如下三个： $$ \begin{aligned} & K_0=\{3 q \mid q \in Z \}, \\ & K_1=\{3 q+1 \mid q \in Z \}, \\ & K_2=\{3 q+2 \mid q \in Z \} . \end{aligned} $$ `例` 列出 $Z _7$ 的乘法表 解： $$ \begin{array}{l|lllllll} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} $$ 表中数字 $0,1,2, \cdots, 6$ 分别代表剩余数类 $\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{6}$ 。这里的乘法与数的乘法是不同的。例如表中第四行第五列表示 $\overline{3} \cdot \overline{4}=\overline{5}$ ，第五行与第六列表示 $\overline{4} \cdot \overline{5}=\overline{6}$ 。
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