最后更新: 2025-10-16 09:41 查看: 292 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

费马小定理与欧拉定理

## 费马小定理与欧拉定理

> 在上一节介绍了 [剩余类](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=795), 有了剩余类后，就可以引出 费马小定理。

在模 3 的剩余类环中，下列等式是否成立？为什么？
（1）$\left[0^3\right]=[0]$ ；
（2）$\left[1^3\right]=[1]$ ；
（3）$\left[2^3\right]=[2]$ ．

我们发现, 探究中的三个等式都是成立的.
事实上, 我们还可以进一步探究得知, 在模 5 的剩余类环中, 仍然存在这种规律. 即

$$
\begin{aligned}
& {\left[0^5\right]=[0],} \\
& {\left[1^5\right]=[1],} \\
& {\left[2^5\right]=[2],} \\
& {\left[3^5\right]=[3],} \\
& {\left[4^5\right]=[4] .}
\end{aligned}
$$

不难验证, 在模 7 的剩余类环中仍然存在这种规律.

由于 $3,5,7$ 均为素数, 我们大胆地猜想: 当 $m$ 为素数时, 对任意整数 $a$, 总有

$$
\left[a^m\right]=[a] \text {, 或 } a^m \equiv a(\bmod m) .
$$

特别地, 当 $(a, m)=1$ 时, 运用同余意义下的消去律, 可得

$$
a^m \equiv a(\bmod m) \Leftrightarrow a^{m-1} \equiv 1(\bmod m) .
$$

事实上, 这个猜想是正确的. 这就是费马小定理.

> **费马小定理** 设 $m$ 为素数, $a$ 为任意整数,且 $(a, m)=1$, 则 $a^{m-1} \equiv 1(\bmod m)$.

下面我们给出它的证明.
证明: 由 $(a, m)=1$, 可知 $m$ 不是 $a$ 的素因数,又因为 $m$ 不是 $1,2,3, \cdots, m-1$ 的素因数, 所以 $a, 2 a, 3 a, \cdots,(m-1) a$ 均不能被 $m$整除.
又因为 $a, 2 a, 3 a, \cdots,(m-1) a$ 模 $m$ 两两不同余, 所以它们分别属于模 $m$ 的除 $[0]$以外的 $m-1$ 个不同的剩余类中. 由同余的性质 1 可知

$$
\begin{aligned}
& a \times 2 a \times 3 a \times \cdots \times(m-1) a \\
\equiv & 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times(m-1)(\bmod m) .
\end{aligned}
$$

因此 $a^{m-1}(m-1) ! \equiv(m-1) !(\bmod m)$.
又由于 $(m-1)$ ! 不含素因数 $m$, 所以

$$
((m-1) !, m)=1 .
$$

由同余的性质 2 可知

$$
a^{m-1} \equiv 1(\bmod m) .
$$

例如, $a=8, m=5$, 我们知道,

$$
\begin{aligned}
& 8 \times 1 \equiv 3(\bmod 5), 8 \times 2 \equiv 1(\bmod 5), \\
& 8 \times 3 \equiv 4(\bmod 5), 8 \times 4 \equiv 2(\bmod 5) .
\end{aligned}
$$

那么 $8^4 \times 4 ! \equiv 4 !(\bmod 5)$. 而 $(4 !, 5)=1$, 故

$$
8^4 \equiv 1(\bmod 5) \text {. }
$$

### 理解：费马小定理
费马小定理可以理解成一种 **“质数下的循环规律”**。

`例`数的循环
- 你选一个质数，比如 $ p = 5 $。
- 再选一个不是 5 的倍数的数，比如 $ a = 2 $。
- 现在计算 $ a $ 的幂次： $ 2^1 = 2, \ 2^2 = 4, \ 2^3 = 8, \ 2^4 = 16 $。
- 看它们除以 5 的余数：
  - $ 2 \bmod 5 = 2 $
  - $ 4 \bmod 5 = 4 $
  - $ 8 \bmod 5 = 3 $
  - $ 16 \bmod 5 = 1 $  ← 正好是 1！

也就是：$ 2^{5-1} = 16 $ 除以 5 余 1。

`例`想象一个钟表，表盘上有 $ p $ 个格子（$ p $ 是质数），编号 $ 0, 1, 2, \dots, p-1 $。

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【高等代数】Euler 函数、费马小定理与剩余定理

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